Question

17．一杯饮料，第一次倒去一半，第二次倒去剩下的一半…如此倒下去，第n次后剩下饮料是原来的几分之几？$\frac{1}{{2}^{n}}$．

Answer 1

分析 设这杯饮料为1，根据题意得第一次后剩下饮料是原来的1-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$，第二次后剩下饮料是原来的1-$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2}$）=（1-$\frac{1}{2}$）²=$\frac{1}{4}$，第三次后剩下饮料是原来的（1-$\frac{1}{2}$）$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2}$）-$\frac{1}{2}$[1-$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2}$）]=（1-$\frac{1}{2}$）³=$\frac{1}{8}$，由此发现规律，写出第，四次和第n次的结果．

解答 解：设这杯饮料为1，根据题意得
第一次后剩下饮料是原来的：1-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$，
第二次后剩下饮料是原来的：1-$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2}$）=（1-$\frac{1}{2}$）²=$\frac{1}{4}$，
第三次后剩下饮料是原来的：（1-$\frac{1}{2}$）$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2}$）-$\frac{1}{2}$[1-$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2}$）]=（1-$\frac{1}{2}$）³=$\frac{1}{8}$，
∴第n次后剩下饮料是原来的：（1-$\frac{1}{2}$）ⁿ=$\frac{1}{{2}^{n}}$，
故答案为：$\frac{1}{{2}^{n}}$．

点评 本题主要考查数字的变化规律，根据题意分别计算出第一、二、三次剩余的饮料是解题的关键．