Question

6．已知：△ACB为等腰直角三角形，点P在AC上，连BP，过B点作BE⊥BP，BE=PB，连AE交BC于F．
（1）如图1，问PA与CF有何数量关系，并证明；
（2）如图2，若点P在CA的延长线上，问上结论是否仍成立，画图证明．

Answer 1

分析 （1）如图1作EM⊥BC，先证明CM=AP，再证明CM=2CF即可．
（2）和（1）类似．

解答 解：（1）结论：PA=2CF，理由如下：
作EM⊥BC垂足为M，
∵∠EBP=∠EMB=90°，
∴∠EBM+∠CBP=90°，∠CBP+∠CPB=90°，
∴∠EBM=∠CPB，
在△EBM和△BPC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EBM=∠CPB}\\{∠EMB=∠BCP}\\{EB=BP}\end{array}\right.$，
∴△EBM≌△BPC，
∴BM=CP，EM=BC，
∵CB=CA，
∴CM=AP，
∵∠EMC=∠MCA=90°
∴EM∥AC，
∴$\frac{EM}{AC}=\frac{MF}{CF}$，
∵EM=BC=AC，
∴MF=FC即MC=2CF，
∴AP=2CF．
（2）结论不变，如图2，
证明：作EM⊥BC垂足为M，
∵∠EBP=∠EMB=90°，
∴∠EBM+∠CBP=90°，∠CBP+∠CPB=90°，
∴∠EBM=∠CPB，
在△EBM和△BPC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EBM=∠CPB}\\{∠EMB=∠BCP}\\{EB=BP}\end{array}\right.$，
∴△EBM≌△BPC，
∴BM=CP，EM=BC，∵CB=CA，
∴CM=AP，
∵∠EMC=∠MCA=90°
∴EM∥AC，
∴$\frac{EM}{AC}=\frac{MF}{CF}$，
∵EM=BC=AC，
∴MF=FC即MC=2CF，
∴AP=2CF．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理，添加辅助线构造全等三角形是解决问题的关键．