Question

已知an+1=

1

1+ 1 an

（n=l，2，3，…2002）．求当a₁=1时，a₁a₂+a₂a₃+a₃a₄+…+a₂₀₀₂a₂₀₀₃的值．

Answer 1

分析：先根据a₁=1及an+1=

1

1+ 1 an

求出a₁、a₂、a₃的值，找出规律，再代入所求代数式进行计算即可．

解答：解：∵a_n+1=

1

1+ 1 an

，
∴当a₁=1，a₂=

1

1+1

=

1

2

，a₃=

1

1+2

=

1

3

，…a₂₀₀₃=

1

2003

，
∴a₁a₂+a₂a₃+a₃a₄+…+a₂₀₀₂a₂₀₀₃
=

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

2002×2003

=（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

2002

-

1

2003

）
=1-

1

2003

=

2002

2003

．
故答案为：

2002

2003

．

点评：本题考查的是有理数的混合运算，根据题意得出a₁、a₂、a₃的值，找出规律，是解答此题的关键．