Question

已知，a1=

1

1×2×3

+

1

2

=

2

3

，a2=

1

2×3×4

+

1

3

=

3

8

，a3=

1

3×4×5

+

1

4

=

4

15

，…依据上述规律，猜想a_n=

n+1

(n+1)2-1

，并简要证明你的猜想．

Answer 1

分析：根据上述规律猜想：a_n=

n+1

(n+1)2-1

，理由为：由各项的第一个加数总结规律为：

1

n(n+1)(n+2)

，第二个加数总结规律为

1

n+1

，通分并利用同分母分式的加法法则计算，约分后将分母变形即可得证．

解答：解：猜想：a_n=

n+1

(n+1)2-1

，理由为：
证明：由题意：

1

n(n+1)(n+2)

+

1

n+1

=

1+n(n+2)

n(n+1)(n+2)

=

(n+1)2

n(n+1)(n+2)

=

n+1

n(n+2)

=

n+1

(n+1)2-1

．

点评：此题考查了分式的混合运算，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式，约分时分式的分子分母出现多项式，应将多项式分解因式后再约分．