Question

16．已知：如图，BC为⊙O的直径，BF为弦，A为$\widehat{BF}$的中点，AD⊥BC，垂足为D，AD和BF相交于点E，求证：AE=BE．

Answer 1

分析 由BC是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得∠BAC=90°，又由AD⊥BC，即可得∠BAD=∠C，又由A为$\widehat{BF}$的中点，根据圆心角、弧、弦的关系，易得∠ABF=∠F=∠C，则可证得∠ABF=∠BAD，继而证得结论．

解答 证明：连AF，AB，AC．
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠DAC=90°，
∵AD⊥BC，
∴∠DAC+∠C=90°，
∴∠BAD=∠C，
∵∠C=∠F，
∴∠BAD=∠F，
∵A为$\widehat{BF}$的中点，
∴∠ABF=∠F，
∴∠BAD=∠ABF，
∴BE=AE．

点评 此题考查了垂径定理，直角三角形的性质以及弧、弦的关系．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．