Question

4．如图，在△ABC中，AD是角平分线，AD的垂直平分线分别交AB、AC于点E、F．
（1）求证：四边形AEDF是菱形；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AEDF是正方形？并说明理由．

Answer 1

分析 （1）由∠BAD=∠CAD，AO=AO，∠AOE=∠AOF=90°证△AEO≌△AFO，推出EO=FO，得出平行四边形AEDF，根据EF⊥AD得出菱形AEDF；
（2）根据有一个角是直角的菱形是正方形可得∠BAC=90°时，四边形AEDF是正方形．

解答 证明：（1）∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
又∵EF⊥AD，
∴∠AOE=∠AOF=90°
∵在△AEO和△AFO中$\left\{\begin{array}{l}{∠EAO=∠FAO}\\{AO=AO}\\{∠AOE=∠AOF}\end{array}\right.$，
∴△AEO≌△AFO（ASA），
∴EO=FO，
∵EF垂直平分AD，
∴EF、AD相互平分，
∴四边形AEDF是平行四边形
又EF⊥AD，
∴平行四边形AEDF为菱形；

（2）当△ABC中∠BAC=90°时，四边形AEDF是正方形；
∵∠BAC=90°，
∴四边形AEDF是正方形（有一个角是直角的菱形是正方形）．

点评 此题主要考查了菱形的判定和正方形的判定，关键是掌握邻边相等的平行四边形是菱形，有一个角是直角的菱形是正方形．