Question

15．如图，抛物线y=ax²+2x-3与x轴交于A、B两点，且B（1，0）
（1）求抛物线的解析式和点A的坐标；
（2）如图1，点P是直线y=x上的动点，当直线y=x平分∠APB时，求点P的坐标；
（3）如图2，已知直线y=$\frac{2}{3}$x-$\frac{4}{9}$分别与x轴、y轴交于C、F两点，点Q是直线CF下方的抛物线上的一个动点，过点Q作y轴的平行线，交直线CF于点D，点E在线段CD的延长线上，连接QE．问：以QD为腰的等腰△QDE的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）把B点坐标代入抛物线解析式可求得a的值，可求得抛物线解析式，再令y=0，可解得相应方程的根，可求得A点坐标；
（2）当点P在x轴上方时，连接AP交y轴于点B′，可证△OBP≌△OB′P，可求得B′坐标，利用待定系数法可求得直线AP的解析式，联立直线y=x，可求得P点坐标；当点P在x轴下方时，同理可求得∠BPO=∠B′PO，又∠B′PO在∠APO的内部，可知此时没有满足条件的点P；
（3）过Q作QH⊥DE于点H，由直线CF的解析式可求得点C、F的坐标，结合条件可求得tan∠QDH，可分别用DQ表示出QH和DH的长，分DQ=DE和DQ=QE两种情况，分别用DQ的长表示出△QDE的面积，再设出点Q的坐标，利用二次函数的性质可求得△QDE的面积的最大值．

解答 解：
（1）把B（1，0）代入y=ax²+2x-3，
可得a+2-3=0，解得a=1，
∴抛物线解析式为y=x²+2x-3，
令y=0，可得x²+2x-3=0，解得x=1或x=-3，
∴A点坐标为（-3，0）；
（2）若y=x平分∠APB，则∠APO=∠BPO，
如图1，若P点在x轴上方，PA与y轴交于点B′，

由于点P在直线y=x上，可知∠POB=∠POB′=45°，
在△BPO和△B′PO中
$\left\{\begin{array}{l}{∠POB=∠PO{B}^{′}}\\{OP=OP}\\{∠BPO=∠{B}^{′}PO}\end{array}\right.$，
∴△BPO≌△B′PO（ASA），
∴BO=B′O=1，
设直线AP解析式为y=kx+b，把A、B′两点坐标代入可得
$\left\{\begin{array}{l}{-3k+b=0}\\{b=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{3}}\\{b=1}\end{array}\right.$，
∴直线AP解析式为y=$\frac{1}{3}$x+1，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y=\frac{1}{3}x+1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3}{2}}\\{y=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
∴P点坐标为（$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$）；
若P点在x轴下方时，同理可得△AOP≌△B′OP，
∴∠BPO=∠B′PO，
又∠B′PO在∠APO的内部，
∴∠APO≠∠BPO，即此时没有满足条件的P点，
综上可知P点坐标为（$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$）；
（3）如图2，作QH⊥CF，交CF于点H，

∵CF为y=$\frac{2}{3}$x-$\frac{4}{9}$，
∴可求得C（$\frac{2}{3}$，0），F（0，-$\frac{4}{9}$），
∴tan∠OFC=$\frac{OC}{OF}$=$\frac{3}{2}$，
∵DQ∥y轴，
∴∠QDH=∠MFD=∠OFC，
∴tan∠HDQ=$\frac{3}{2}$，
不妨设DQ=t，DH=$\frac{2}{\sqrt{13}}$t，HQ=$\frac{3}{\sqrt{13}}$t，
∵△QDE是以DQ为腰的等腰三角形，
∴若DQ=DE，则S_△DEQ=$\frac{1}{2}$DE•HQ=$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{\sqrt{13}}$t×t=$\frac{3\sqrt{13}}{26}$t²，
若DQ=QE，则S_△DEQ=$\frac{1}{2}$DE•HQ=$\frac{1}{2}$×2DH•HQ=$\frac{1}{2}$×$\frac{4}{\sqrt{13}}$t×$\frac{3}{\sqrt{13}}$t=$\frac{6}{13}$t²，
∵$\frac{3\sqrt{13}}{26}$t²＜$\frac{6}{13}$t²，
∴当DQ=QE时△DEQ的面积比DQ=DE时大．
设Q点坐标为（x，x²+2x-3），则D（x，$\frac{2}{3}$x-$\frac{4}{9}$），
∵Q点在直线CF的下方，
∴DQ=t=$\frac{2}{3}$x-$\frac{4}{9}$-（x²+2x-3）=-x²-$\frac{4}{3}$x+$\frac{23}{9}$，
当x=-$\frac{2}{3}$时，t_max=3，
∴（S_△DEQ）_max=$\frac{6}{13}$t²=$\frac{54}{13}$，
即以QD为腰的等腰三角形的面积最大值为$\frac{54}{13}$．

点评 本题主要考查二次函数的综合应用，涉及知识点有待定系数法、角平分线的定义、全等三角形的判定和性质、三角形的面积、等腰三角形的性质、二次函数的性质及分类讨论等．在（2）中确定出直线AP的解析式是解题的关键，在（3）中利用DQ表示出△QDE的面积是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，计算量大，难度较大．