Question

7．在数学的学习过程中，我们要善于观察、发现规律并总结、应用．下面给同学们展示了四种有理数的简便运算的方法：
方法①：（-$\frac{1}{2}$）²×16²=[（-$\frac{1}{2}$）×16]²=（-8）²=64，2³×5³=（2×5）³=10³=1000
规律：a²•b²=（a•b）²，aⁿ•bⁿ=（a•b）ⁿ （n为正整数）
方法②：3.14×23+3.14×17+3.14×60=3.14×（23+17+60）=3.14×100=314
规律：ma+mb+mc=m（a+b+c）
方法③：（-12$\frac{3}{4}$）÷3=[（-12）+（-$\frac{3}{4}$）]×$\frac{1}{3}$=（-12）×$\frac{1}{3}$+（-$\frac{3}{4}$）×$\frac{1}{3}$=（-4）+（-$\frac{1}{4}$）=-4$\frac{1}{4}$
方法④：$\frac{1}{1×2}$=1-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2×3}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3×4}$=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{4×5}$=$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{5}$，…
规律：$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$ （n为正整数）
利用以上方法，进行简便运算：
①（-0.125）²⁰¹⁴×8²⁰¹⁴；       
②$\frac{4}{7}$×（-$\frac{5}{23}$）-（-$\frac{3}{7}$）×（-$\frac{5}{23}$）-$\frac{5}{23}$×2$\frac{2}{7}$；
③（-20$\frac{5}{14}$）÷（-5）；          
④$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{2014×2015}$．

Answer 1

分析 ①根据方法①进行计算即可；
②根据方法②进行计算即可；
③根据方法③进行计算即可；
④根据方法④进行计算即可．

解答 解：①原式=[（-0.125）×8]²⁰¹⁴
=（-1）²⁰¹⁴
=1；

②原式=（-$\frac{5}{23}$）×（$\frac{4}{7}$+$\frac{3}{7}$+2$\frac{2}{7}$）
=（-$\frac{5}{23}$）×$\frac{23}{7}$
=-$\frac{5}{7}$；

③原式=[（-20）+（-$\frac{5}{14}$）]×（-$\frac{1}{5}$）
=（-20）×（-$\frac{1}{5}$）+（-$\frac{5}{14}$）×（-$\frac{1}{5}$）
=4+$\frac{1}{14}$
=$\frac{57}{14}$；

④原式=（1-$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$）+…+$\frac{1}{2014}$-$\frac{1}{2015}$
=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{2015}$-$\frac{1}{2016}$
=1-$\frac{1}{2016}$
=$\frac{2015}{2016}$．

点评 本题考查的是数字的变化类，根据题中给出的例子进行计算是解答此题的关键．