Question

如图，已知抛物线y=ax²+bx-4与x轴交于A（-2，0），B（8，0）两点，与y轴交于点C，连接BC，以BC为一边，作菱形BDEC，使其对角线在坐标轴上，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q．
（1）求抛物线的解析式；
（2）将抛物线向上平移n个单位，使其顶点在菱形BDEC内（不含菱形的边），求n的取值范围；
（3）当点P在线段OB上运动时，直线l交BD于点M．试探究m为何值时，四边形CQMD是平行四边形，并说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）根据待定系数法即可求得．
（2）先求得直线BC的解析式和抛物线的顶点坐标G（3，-

25

4

），然后把x=3代入直线BC的解析式即可求得F的坐标，进而求得E的坐标即可求得n的取值．
（3）由菱形的对称性可知，点D的坐标，根据待定系数法可求直线BD的解析式，根据平行四边形的性质可得关于m的方程，求得m的值；再根据平行四边形的判定可得四边形CQBM的形状；

解答：解：（1）∵抛物线y=ax²+bx-4与x轴交于A（-2，0），B（8，0）两点，
∴

0=4a-2b-4 0=16a+8b-4

 解得

a= 1 4 b=- 3 2

∴抛物线的解析式为：y=

1

4

x²-

3

2

x-4；

（2）设抛物线的顶点为G，过G点作x轴的垂线交BD于E，交BC于F，
由抛物线的解析式y=

1

4

x²-

3

2

x-4可知C（0，-4）
设直线BC的解析式为y=k₁x+b₁，
∵B（8，0），C（0，-4），则

b1=-4 8k1+b1=0

，
解得k₁=

1

2

，b₁=-4．
故直线BC的解析式为y=

1

2

x-4．
∵y=

1

4

x²-

3

2

x-4=

1

4

（x-3）²-

25

4

，
∴抛物线的顶点G的坐标（3，-

25

4

），
当x=3时，y=

1

2

x-4=-

5

2

，
∴F（3，-

5

2

），
由菱形的对称性可知，点E的坐标为（3，

5

2

）．
∵GF=-

5

2

-（-

25

4

）=

15

4

，GE=

5

2

-（-

25

4

）=

35

4

，
∴

15

4

＜n＜

35

4

．

（3）∵C（0，-4）
∴由菱形的对称性可知，点D的坐标为（0，4）．
设直线BD的解析式为y=kx+b，则

b=4 8k+b=0

，
解得k=-

1

2

，b=4．
∴直线BD的解析式为y=-

1

2

x+4．
∵l⊥x轴，
∴点M的坐标为（m，-

1

2

m+4），点Q的坐标为（m，

1

4

m²-

3

2

m-4）．
如图，当MQ=DC时，四边形CQMD是平行四边形，
∴（-

1

2

m+4）-（

1

4

m²-

3

2

m-4）=4-（-4）．
化简得：m²-4m=0，
解得m₁=0（不合题意舍去），m₂=4．
∴当m=4时，四边形CQMD是平行四边形．

点评：本题考查了二次函数综合性，涉及的知识点有：坐标轴上点的特点，菱形的对称性，待定系数法求直线的解析式，平行四边形的判定和性质，方程思想和分类思想的运用，综合性较强，有一定的难度．