Question

15．正数m，n满足m+4$\sqrt{mn}-2\sqrt{m}-4\sqrt{n}$+4n=3，则$\frac{{\sqrt{m}+2\sqrt{n}-8}}{{\sqrt{m}+2\sqrt{n}+2006}}$的值为-$\frac{5}{2009}$．

Answer 1

分析 首先把m+4$\sqrt{mn}-2\sqrt{m}-4\sqrt{n}$+4n=3在实数范围内利用因式分解求得$\sqrt{m}$+2$\sqrt{n}$，再进一步代入求得答案即可．

解答 解：∵m+4$\sqrt{mn}-2\sqrt{m}-4\sqrt{n}$+4n=3，
∴m+4$\sqrt{mn}$+4n-2（$\sqrt{m}$+2$\sqrt{n}$）-3=0，
∴（$\sqrt{m}$+2$\sqrt{n}$）²-2（$\sqrt{m}$+2$\sqrt{n}$）-3=0，
∴（$\sqrt{m}$+2$\sqrt{n}$-3）（$\sqrt{m}$+2$\sqrt{n}$+1）=0，
∴$\sqrt{m}$+2$\sqrt{n}$=3，$\sqrt{m}$+2$\sqrt{n}$）=-1（不合题意，舍去）
∴$\frac{{\sqrt{m}+2\sqrt{n}-8}}{{\sqrt{m}+2\sqrt{n}+2006}}$=$\frac{3-8}{3+2006}$=-$\frac{5}{2009}$．
故答案为：-$\frac{5}{2009}$．

点评 此题考查二次根式的化简求值，利用因式分解求得$\sqrt{m}$+2$\sqrt{n}$的值是解决问题的关键，渗透整体代入的思想．