题目内容
如图1，一张三角形纸片ABC，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，沿斜边AB的中线CD把这张纸片剪成△AC1D1和△BC2D2两个三角形（如图2），将△AC1D1沿直线D2B（AB）方向平移（点A，D1，D2，B始终在同一直线上），当点D1与点B重合时停止平移，在平移的过程中，C1D1与BC2交于点E，AC1与C2D2、C2B分别交于点F、P．（1）当△AC1D1平移到如图3所示位置时，猜想D1E与D2F的数量关系，并证明你的猜想；
（2）设平移距离D2D1为x，△AC1D1和△BC2D2重叠（阴影）部分面积为y，试求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
分析：（1）根据题意，易得∠C1=∠AFD2；进而可得C1D1=C2D2=BD2=AD1，又因为AD1=BD2，可得答案；
（2）因为在Rt△ABC中，AC=8，BC=6，所以由勾股定理，得AB=10；又因为C2D1=x，所以D1E=BD1=D2F=AD2=5-x，由图形可得阴影部分面积的组成，分别用x表示出其面积可得答案．
（2）因为在Rt△ABC中，AC=8，BC=6，所以由勾股定理，得AB=10；又因为C2D1=x，所以D1E=BD1=D2F=AD2=5-x，由图形可得阴影部分面积的组成，分别用x表示出其面积可得答案．
解答：解：（1）D1E=D2F，
∵C1D1∥C2D2，
∴∠C1=∠AFD2．
又∵∠ACB=90°，CD是斜边上的中线，
∴DC=DA=DB，即C1D1=C2D2=BD2=AD1，
∴∠C1=∠A，
∴∠AFD2=∠A，
∴AD2=D2F；
同理：BD1=D1E．
又∵AD1=BD2，
∴AD2=BD1．
∴D1E=D2F．
（2）∵在Rt△ABC中，AC=8，BC=6，
∴由勾股定理，得AB=10，
即AD1=BD2=C1D1=C2D2=5；
又∵D2D1=x，
∴D1E=BD1=D2F=AD2=5-x，
∴C2F=C1E=x，
∵在△BC2D2中，C2到BD2的距离就是△ABC的AB边上的高为
，△BC2D2的面积=
×5×
=12，
∴设△BED1的BD1边上的高为h，
∵C1D1∥C2D2，
∴△BC2D2∽△BED1，
∴
=
，
∴h=
，
∴△BED1的面积=
×BD1×h=
×(5-x)×
=
（5-x）2，
又∵∠C1+∠C2=90°，
∴∠FPC2=90°；
又∵∠C2=∠B，
∴△C2FP∽△EC1P，
∴C2F：EC1=PF：C1P，
∴PC2=
x，PF=
x；
∴△C2FP的面积=
x2，
故y=△BC2D2的面积-△BED1的面积-△C2FP的面积=-
x2+
x．（0≤x≤5）
∵C1D1∥C2D2，
∴∠C1=∠AFD2．
又∵∠ACB=90°，CD是斜边上的中线，
∴DC=DA=DB，即C1D1=C2D2=BD2=AD1，
∴∠C1=∠A，
∴∠AFD2=∠A，
∴AD2=D2F；
同理：BD1=D1E．
又∵AD1=BD2，
∴AD2=BD1．
∴D1E=D2F．
（2）∵在Rt△ABC中，AC=8，BC=6，
∴由勾股定理，得AB=10，
即AD1=BD2=C1D1=C2D2=5；
又∵D2D1=x，
∴D1E=BD1=D2F=AD2=5-x，
∴C2F=C1E=x，
∵在△BC2D2中，C2到BD2的距离就是△ABC的AB边上的高为
| 24 |
| 5 |
| 1 |
| 2 |
| 24 |
| 5 |
∴设△BED1的BD1边上的高为h，
∵C1D1∥C2D2，
∴△BC2D2∽△BED1，
∴
| 5h |
| 24 |
| 5-x |
| 5 |
∴h=
| 24(5-x) |
| 25 |
∴△BED1的面积=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 24(5-x) |
| 25 |
| 12 |
| 25 |
又∵∠C1+∠C2=90°，
∴∠FPC2=90°；
又∵∠C2=∠B，
∴△C2FP∽△EC1P，
∴C2F：EC1=PF：C1P，
∴PC2=
| 3 |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
∴△C2FP的面积=
| 6 |
| 25 |
故y=△BC2D2的面积-△BED1的面积-△C2FP的面积=-
| 18 |
| 25 |
| 24 |
| 5 |
点评：本题结合图形的平移考查相似三角形的有关知识，平移的基本性质是：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．本题关键是利用了对应线段平行且相等的性质．
练习册系列答案
相关题目
25、如图，是一张6×6的方格纸，我们把像△ABC这样顶点在小正方形的顶点的三角形叫做格点三角形．
如图，把一张矩形的纸沿对角线折叠，重合部分是一个等腰三角形，如果矩形的长是8cm，宽为6cm，则等腰三角形的腰长是
如图△ABC是一张等腰直角三角形彩色纸，AC=BC=20cm．将斜边上的高CD五等分，然后裁出4张宽度相等的长方形纸条．这4张小长方形的面积和