Question

16．如图，在直角坐标系xOy中，已知A（6，0），B（8，6），将线段OA平移至CB，点D在x轴正半轴上（不与点A重合），连接OC，AB，CD，BD．
（1）写出点C的坐标；
（2）当△ODC的面积是△ABD的面积的3倍时，求点D的坐标；
（3）设∠OCD=α，∠DBA=β，∠BDC=θ，判断α、β、θ之间的数量关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）由点的坐标的特点，确定出FC=2，OF=6，得出C（2，6）；
（2）分点D在线段OA和在OA延长线两种情况进行计算；
（3）分点D在线段OA上时，α+β=θ和在OA延长线α-β=θ两种情况进行计算；

解答 解：（1）如图1，

∵A（6，0），B（8，6），
∴FC=AE=8-6=2，OF=BE=6
∴C（2，6）；
（2）设D（x，0），当△ODC的面积是△ABD的面积的3倍时，
若点D在线段OA上，
∵OD=3AD，
∴$\frac{1}{2}$×6x=3×$\frac{1}{2}$×6（6-x），
∴x=$\frac{9}{2}$，
∴D（$\frac{9}{2}$，0）；
若点D在线段OA延长线上，
∵OD=3AD，
∴$\frac{1}{2}$×6x=3×$\frac{1}{2}$×6（x-6），
∴x=9，
∴D（9，0）
（3）如图2．

过点D作DE∥OC，
由平移的性质知OC∥AB．
∴OC∥AB∥DE．
∴∠OCD=∠CDE，∠EDB=∠DBA．
若点D在线段OA上，
∠CDB=∠CDE+∠EDB=∠OCD+∠DBA，
即α+β=θ；
若点D在线段OA延长线上，
∠CDB=∠CDE-∠EDB=∠OCD-∠DBA，
即α-β=θ．

点评 此题是几何变换综合题，主要考查了点三角形面积的计算方法，平移得性质，平行线的性质和判定，解本题的关键是分点D在线段OA上，和OA延长线上两种情况．