Question

8．如图，已知?ABCD中，点F为AD的中点，CE⊥AB交BA的延长线于点E，连CF，若∠ECF=45°，试写出CD、AE、CE的数量关系，并证明你的猜想．

Answer 1

分析 延长BA，交CF延长线于G根据平行四边形的性质得到AB∥CD由平行线的性质得到∠GAF=∠D，∠G=∠GCD，推出△AGF≌△DCF，根据全等三角形的性质得到AG=CD，得到△CEG是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质得到CE=EG，即可得到结论．

解答 解：CD-AE=CE，
延长BA，交CF延长线于G
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB∥CD
∴∠GAF=∠D，∠G=∠GCD，
∵F是AD的中点，即AF=DF，
在△AGF与△DCF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠GAF=∠D}\\{∠G=∠FCD}\\{AF=DF}\end{array}\right.$，
∴△AGF≌△DCF，
∴AG=CD，
∵CE⊥AB，∠ECF=45°，
∴△CEG是等腰直角三角形，
∴CE=EG，
∵EG=AG-AE=CD-AE
∴CD-AE=CE．

点评 本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，平行线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．