Question

2．如图，AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O上一动点，且∠ACB=30°，点D、E分别是AC、BC的中点，直线DE交⊙O于F、G两点．若⊙O的半径7，则FD+EG的最大值为10.5．

Answer 1

分析 由点D、E分别是AC、BC的中点，根据三角形中位线定理得出ED=$\frac{1}{2}$AB为定值，则GE+FD=GF-DE，所以当GF取最大值时，GE+FD有最大值．而直径是圆中最长的弦，故当GF为⊙O的直径时，可求得GE+FD的最大值．

解答 解：当GF为⊙O的直径时，GE+FD有最大值．
当GF为直径时，D点与O点重合，
∴AC也是直径，AC=14．
∵∠ABC是直径所对的圆周角，
∴∠ABC=90°，
∵∠C=30°，
∴AB=$\frac{1}{2}$AC=7．
∵点E、D分别为AC、BC的中点，
∴ED=$\frac{1}{2}$AB=3.5，
∴GE+FD=GF-ED=14-3.5=10.5．
故答案为10.5．

点评 本题考查的是三角形中位线定理、等边三角形的判定和性质和圆周角定理，综合运用以上定理是解题的关键，解答时，注意直径是圆中最长的弦．