Question

12．在△ABC中，CD是AB边上的中线，已知∠B=45°，tan∠ACB=3，AC=10．求：
（1）△ABC的面积；
（2）sin∠ACD的值．

Answer 1

分析 （1）作AE⊥BC于E，如图，在Rt△ACE中，利用正切的定义得到tan∠ACE=$\frac{AE}{CE}$=3，则设CE=x，AE=3x，根据勾股定理得AC=$\sqrt{10}$x，利用$\sqrt{10}$x=10，解得x=$\sqrt{10}$，再在Rt△ABE中，利用∠B=45°得到BE=AE=3$\sqrt{10}$，然后根据三角形面积公式求解；
（2）作DF⊥BC于F，如图，由于CD是AB边上的中线，根据三角形面积公式得到S_△ACD=$\frac{1}{2}$S_△ABC=30，再证明DF为△ABE的中位线，则DF=$\frac{1}{2}$AE=$\frac{3\sqrt{10}}{2}$，易得BF=DF=$\frac{3\sqrt{10}}{2}$，接着根据勾股定理计算出CD=$\sqrt{85}$，然后利用S_△ACD=$\frac{1}{2}$CD•CA•sin∠ACD可计算出sin∠ACD的值．

解答 解：（1）作AE⊥BC于E，如图，
在Rt△ACE中，∵tan∠ACE=$\frac{AE}{CE}$=3，
∴设CE=x，AE=3x，
∴AC=$\sqrt{A{E}^{2}+C{E}^{2}}$=$\sqrt{10}$x，
∴$\sqrt{10}$x=10，解得x=$\sqrt{10}$，
∴AE=3$\sqrt{10}$，CE=$\sqrt{10}$，
在Rt△ABE中，∵∠B=45°，
∴BE=AE=3$\sqrt{10}$，
∴BC=BE+CE=4$\sqrt{10}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$×4$\sqrt{10}$×3$\sqrt{10}$=60；
（2）作DF⊥BC于F，如图，
∵CD是AB边上的中线，
∴AD=BD，
∴S_△ACD=$\frac{1}{2}$S_△ABC=30，
∵DF⊥BE，AE⊥BE，
∴DF=$\frac{1}{2}$AE=$\frac{3\sqrt{10}}{2}$，
∴BF=DF=$\frac{3\sqrt{10}}{2}$，
∴CF=BC-BF=$\frac{5\sqrt{10}}{2}$，
在Rt△CDF中，CD=$\sqrt{D{F}^{2}+C{F}^{2}}$=$\sqrt{85}$，
∵S_△ACD=$\frac{1}{2}$CD•CA•sin∠ACD，
∴sin∠ACD=$\frac{2×30}{10×\sqrt{85}}$=$\frac{6\sqrt{85}}{85}$．

点评 本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．解直角三角形要用到的关系：锐角互余的关系、三边之间的关系、边角之间的关系．也考查了三角形面积公式．