Question

在平面坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2），延长CB交x轴于点A₁，作正方形A₁B₁C₁C，延长C₁B₁交x轴于点A₂，作正方形A₂B₂C₂C₁，…按这样的规律进行下去，第2012个正方形的面积为

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

D
分析：首先设正方形的面积分别为S₁，S₂…S₂₀₁₂，由题意可求得S₁的值，易证得△BAA₁∽△B₁A₁A₂，利用相似三角形的对应边成比例与三角函数的性质，即可求得S₂的值，继而求得S₃的值，继而可得规律：S_n=5×（）^2n-2，则可求得答案．
解答：∵点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2），
∴OA=1，OD=2，
设正方形的面积分别为S₁，S₂…S₂₀₁₂，
根据题意，得：AD∥BC∥C₁A₂∥C₂B₂，
∴∠BAA₁=∠B₁A₁A₂=∠B₂A₂x，
∵∠ABA₁=∠A₁B₁A₂=90°，
∴△BAA₁∽△B₁A₁A₂，
在直角△ADO中，根据勾股定理，得：AD==，
∴AB=AD=BC=，
∴S₁=5，
∵∠DAO+∠ADO=90°，∠DAO+∠BAA₁=90°，
∴∠ADO=∠BAA₁，
∴tan∠BAA₁===，
∴A₁B=，
∴A₁C=BC+A₁B=，
∴S₂=×5=5×（）²，
∴==，
∴A₂B₁=×=，
∴A₂C₁=B₁C₁+A₂B₁=+==×（）²，
∴S₃=×5=5×（）⁴，
由此可得：S_n=5×（）^2n-2，
∴S₂₀₁₂=5×（）^2×2012-2=5×（）⁴⁰²²．
故选D．
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及三角函数等知识．此题难度较大，解题的关键是得到规律S_n=5×（）^2n-2．