Question

如图，在平面直角坐标系中，A（-3，0），点C在y轴的正半轴上，BC∥x轴，且BC=5，AB交y轴于点D，OD=

3

2

．
（1）求出C的坐标．
（2）过A，C，B三点的抛物线与x轴交于点E，连接BE，若动点M从点A出发沿x轴正方向运动，同时动点N从点E出发，在直线EB上作匀速运动，运动速度为每秒1个单位长度，当运动时间t为多少时，△MON为直角三角形．

Answer 1

分析：（1）根据题意首先判断出△BCD∽△AOD，根据相似比求出CD的长，进而确定C点的坐标．
（2）首先作BF⊥x轴于点F，则BF=4．根据抛物线的对称性及A、C、O点的坐标和勾股定理得到BE、OE、AE的值．再分两类情况进行讨论：①点N在射线EB上：若∠NMO=90°，若∠NOM=90°，∠ONM=90°；②点N在射线EB的方向延长线上：若∠NMO=90°，若∠NOM=90°，∠ONM=90°．最终得到结论．

解答：解：（1）∵BC∥x轴，
∴△BCD∽△AOD，
∴

CD

OD

=

BC

AO

，
∴CD=

5

3

×

3

2

=

5

2

，
∴CO=

5

2

+

3

2

，
∴C点的坐标为（0，4）．

（2）如图1，作BF⊥x轴于点F，则BF=4，
由抛物线的对称性知EF=3，
∴BE=5，OE=8，AE=11，
根据点N运动方向，分以下两种情况讨论：
①点N在射线EB上，
若∠NMO=90°，如图1，则cos∠BEF=

ME

NE

=

FE

BE

，
∴

11-t

t

=

3

5

，
解得t=

55

8

．
若∠NOM=90°，如图2，则点N和G重合，
∵cos∠BEF=

OE

GE

=

FE

BE

，
∴

8

t

=

3

5

，解得t=

40

3

，
∠ONM=90°的情况不存在．
②点N在射线EB的方向延长线上，
若∠NMO=90°，如图3，则cos∠NEM=cos∠BEF，
∴

ME

NE

=

FE

BE

，
∴

t-11

t

=

3

5

，解得t=

55

2

，
而∠NOM=90°和∠ONM=90°的情况不存在．
综上，当t=

55

8

、t=

40

3

或t=

55

2

时，△MON为直角三角形．

点评：此题考查了抛物线解析式的图象性质、勾股定理等重要知识点，其中（2）小题中用到了分类讨论的数学思想，难点在于考虑问题要全面，做到不重不漏．