Question

（2013•湖州二模）如图，在平面直角坐标系中，直线y=kx和双曲线y=

k′

x

在第一象限相交于点A（1，2），点B在y轴上，且AB⊥y轴．有一动点P从原点出发沿y轴以每秒1个单位的速度向y轴的正方向运动，运动时间为t秒（t＞0），过点P作PD⊥y轴，交直线OA于点C，交双曲线于点D．

（1）求直线y=kx和双曲线y=

k′

x

的函数关系式；
（2）设四边形CDAB的面积为S，当P在线段OB上运动时（P不与B点重合），求S与t之间的函数关系式；
（3）在图中第一象限的双曲线上是否存在点Q，使以A、B、C、Q四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出此时t的值和Q点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）把A的坐标代入正比例函数与反比例函数的解析式，；利用待定系数法即可求得函数的解析式；
（2）OP=t，把y=t代入正比例函数与反比例函数的解析式，求得C，D的横坐标，则CD的长即可利用t表示出来，然后利用梯形的面积公式即可写出函数的解析式；
（3）分AB=∥CD，且CD在AB下方时；当AB=∥CD，且CD在AB上方时以及BQ=∥AC，且CD在AB下方三种情况进行讨论．依据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可求解．

解答：解：（1）把A（1，2）代入y=kx和y=

k′

x

，得
K=2，k?=2
∴直线y=kx的函数关系式是y=2x
双曲线y=

k′

x

的函数关系式是y=

2

x

，
（2）∵AB=1，OB=2，OP=t
∴PC=

t

2

，PD=

2

t

，BP=2-t
∴当CD在AB下方时，CD=PD-PC=

2

t

-

t

2

．
∴S=

1

2

(1+

2

t

-

t

2

)(2-t)
=

t3-4t2+8

4t

（0＜t＜2），
（注：自变量t的取值范围没有写出的不扣分，函数化简结果可以用不同
的形式表示，只要结果正确的均不扣分，如：S=

t2

4

-t+

2

t

等）
（3）存在3种情形，具体如下：
①当AB=∥CD，且CD在AB下方时（图2）
CD=PD-PC=

2

t

-

t

2

=1，
解得  t₁=

5

-1，t₂=-

5

-1（舍去）
∴PD=

2

t

=

2

5 -1

=

5 +1

2

，OP=t=

5

-1
∴当t=

5

-1时，存在Q（

5 +1

2

，

5

-1）使以
A、B、C、Q四点为顶点的四边形是平行四边形，
②当AB=∥CD，且CD在AB上方时（图2）
CD=PC-PD=

t

2

-

2

t

=1，解得  t₁=

5

+1，t₂=-

5

+1（舍去）
∴PD=

2

t

=

2

5 +1

=

5 -1

2

，OP=t=

5

+1
∴当t=

5

+1时，存在Q（

5 -1

2

，

5

+1）使以
A、B、C、Q四点为顶点的四边形是平行四边形，
③当BQ=∥AC，且CD在AB下方时（见图3）
此时Q点的坐标仍为（

5 -1

2

，

5

+1）
过C作CG⊥AB交AB于G，
过Q作QH⊥y轴交y轴于H
显然，△ACG≌△QBH
∴CG=BH=BP
∴OP=2OB-OH=4-（

5

+1）=3-

5

∴当t=3-

5

时，存在Q（

5 -1

2

，

5

+1）使以A、B、C、Q四点为顶点的四边形是平行四边形．

点评：本题是待定系数法求函数解析式，平行四边形的判定方法的综合应用，正确理解分情况讨论是关键．