Question

如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为菱形，点C的坐标为（4，0），∠AOC=60°，垂直于x轴的直线l从y轴出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线l与菱形OABC的两边分别交于点M、N（点M在点N的上方）．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）设△OMN的面积为S，直线l运动时间为t秒（0≤t≤6），试求S与t的函数表达式；
（3）在题（2）的条件下，t为何值时，S的面积最大？最大面积是多少？

Answer 1

分析：（1）已知了菱形的边长，过A作AD⊥OC于D，在直角三角形OAD中，可根据OA的长和∠AOC的度数求出OD和AD的长，即可得出A点坐标，将A的坐标向右平移4个单位即可得出B点坐标．
（2）当l过A点时，ON=OD=2，因此t=2；当l过C点时，ON=OC=4，此时t=4．因此本题可分三种情况：
①当0≤t≤2时，直线l与OA、OC两边相交，此时ON=t，MN=

3

t，根据三角形的面积公式即可得出S，t的函数关系式．
②当2＜t≤4时，直线l与AB、OC两边相交，此时三角形OMN中，NM的长与AD的长相同，而ON=t，由此就不难得出S，t的函数关系式．
③当4＜t≤6时，直线l与AB、BC两边相交，可设直线l与x轴交点为H，那么三角形OMN可以MN为底，OH为高来计算其面积．OH的长为t，而MN的长可通过MH-NH来求得，其中，MH可用OH和∠MOH的正切值求出，HN可用CH的长和∠BCH的正切值求出．据此可得出关于S，t的函数关系式．
（3）根据（2）中各函数的性质和各自的自变量的取值范围可得出S的最大值及对应的t的值．

解答：解：（1）∵四边形OABC为菱形，点C的坐标为（4，0），
∴OA=AB=BC=CO=4．
过点A作AD⊥OC于D．
∵∠AOC=60°，
∴OD=2，AD=2

3

．
∴A（2，2

3

），B（6，2

3

）．（3分）

（2）直线l从y轴出发，沿x轴正方向运动与菱形OABC的两边相交有三种情况：
①0≤t≤2时，直线l与OA、OC两边相交，（如图①）．

∵MN⊥OC，
∴ON=t．
∴MN=ONtan60°=

3

t．
∴S=

1

2

ON•MN=

3

2

t²．（4分）
②当2＜t≤4时，直线l与AB、OC两边相交，（如图②）．

S=

1

2

ON•MN=

1

2

×t×2

3

=

3

t．（6分）
③当4＜t≤6时，直线l与AB、BC两边相交，（如图③）．

设直线l与x轴交于点H．
∵MN=2

3

-

3

（t-4）=6

3

-

3

t，
∴S=

1

2

OH•MN=

1

2

t（6

3

-

3

t）
=-

3

2

t²+3

3

t．

（3）由（2）知，当0≤t≤2时，S_最大=

3

2

×2²=2

3

，
当2＜t≤4时，S_最大=4

3

，
当4＜t≤6时，配方得S=-

3

2

（t-3）²+

9 3

2

，
∴当t=3时，函数S=-

3

2

t²+3

3

t的最大值是

9 3

2

．
但t=3不在4＜t≤6内，
∴在4＜t≤6内，函数S=-

3

2

t²+3

3

t的最大值不是

9 3

2

．
而当t＞3时，函数S=-

3

2

t²+3

3

t随t的增大而减小，
∴当4＜t≤6时，S＜4

3

．
综上所述，当t=4时，S_最大=4

3

．

点评：本题为运动性问题，考查了菱形的性质、图形面积的求法、二次函数的应用等知识．
考查学生分类讨论、数形结合的数学数形方法．