Question

19．如图，在平面直角坐标系中，点O是原点，矩形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，顶点C在y的正半轴上，点B的坐标是（4，2），抛物线y=$\frac{1}{2}$x²+bx+c，经过A，C两点，与x轴的另一个交点是点D，连接BD．

（1）求抛物线的解析式；
（2）点M是抛物线对称轴上的一点，以M，B，D为顶点的三角形的面积是6，求点M的坐标．
（3）若点Q是y轴上一点，且△DBQ为等腰三角形，直接写出点Q的坐标．

Answer 1

分析 （1）求出点A、C的坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）如答图1所示，关键是求出MG的长度，利用面积公式解决；注意，符合条件的点M有2个，不要漏解；
（3）分别以BD为底边、BD为腰B为顶点，BD为腰D为顶点三种情况分类讨论确定点Q的坐标即可．

解答 解：（1）∵矩形ABCD，B（4，2），
∴A（4，0），C（0，2）．
∵点A（4，0），C（0，2）在抛物线y=$\frac{1}{2}$x²+bx+c上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}×16+4b+c=0}\\{c=2}\end{array}\right.$，
解得：b=-$\frac{5}{2}$，c=2．
∴抛物线的解析式为：y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{5}{2}$x+2．

（2）如答图1所示，
∵y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{5}{2}$x+2=$\frac{1}{2}$（x-$\frac{5}{2}$）²-$\frac{9}{8}$，
∴抛物线的对称轴为直线x=$\frac{5}{2}$．
如答图1所示，设对称轴与BD交于点G，与x轴交于点H，则H（$\frac{5}{2}$，0）．

令y=0，即$\frac{1}{2}$x²-$\frac{5}{2}$x+2，解得x=1或x=4．
∴D（1，0），
∴DH=1.5，AH=1.5，AD=3．
∵tan∠ADB=$\frac{AB}{AD}$=$\frac{2}{3}$，
∴GH=DH•tan∠ADB=$\frac{3}{2}$×$\frac{2}{3}$=1，
∴G（$\frac{3}{2}$，1）．
∵S_△MBD=6，即S_△MDG+S_△MBG=6，
∴$\frac{1}{2}$MG•DH+$\frac{1}{2}$MG•AH=6，
即：$\frac{1}{2}$MG×$\frac{3}{2}$+$\frac{1}{2}$MG×$\frac{3}{2}$=6，
解得：MG=2．
∴点M的坐标为（$\frac{5}{2}$，3）或（$\frac{5}{2}$，-1）；

（3）当以BD为底边长时，
∵B（4，2），D（1，0），
∴设BD的解析式为y=kx+b，
故$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=2}\\{k+b=0}\end{array}\right.$，
解得：k=$\frac{2}{3}$，b=-$\frac{2}{3}$，
∴直线BD的解析式为y=$\frac{2}{3}$x-$\frac{2}{3}$，
∵Q₁E垂直平分BD，E（$\frac{5}{2}$，1），
∴直线Q₁E的解析式为y=-$\frac{3}{2}$x+$\frac{19}{4}$，
∴Q₁（0，$\frac{19}{4}$）；
当以BD为腰且以B为顶点时，
∵BD=$\sqrt{{2}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{13}$＜BC，
∴此时不存在点Q；

当以BD为腰且以D为顶点时，
此时OQ=$\sqrt{（\sqrt{13}）^{2}-{1}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∴Q₂（0，2$\sqrt{3}$），Q₃（0，-2$\sqrt{3}$），
∴存在Q₁（0，$\frac{19}{4}$）、Q₂（0，2$\sqrt{3}$），Q₃（0，-2$\sqrt{3}$）使得△DBQ为等腰三角形．

点评 本题是二次函数综合题型，考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、图形面积、解直角三角形、勾股定理等知识点．分类讨论的数学思想是本题考查的重点，在第（2）（3）问中均有所体现，解题时注意全面分析、认真计算．