Question

11．已知：如图，抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于点A（4，0）、E（-2，0）两点，与y轴交于点B（0，2，），连结AB．过点A作直线AK⊥AB，动点P从点A出发以每秒$\sqrt{5}$个单位长度的速度沿射线AK运动，设运动时间为t秒，过点P作PC⊥x轴，垂足为C，把△ACP沿AP对折，使点C落在点D处．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点D在△ABP的内部时，△ABP与△ADP不重叠部分的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并直接写出t的取值范围；
（3）是否存在这样的时刻，使动点D到点O的距离最小？若存在请求出这个最小距离；若不存在说明理由．

Answer 1

分析 （1）直接利用待定系数法求出二次函数解析式进而得出答案；
（2）首先求出△AOB∽△PCA，进而表示出AC，PC的长，即可利用S=S_△ABP-S_△ADP，得出即可；
（3）利用相似三角形的判定方法得出△ACG∽△DCH∽△BAO，进而求出AD的解析式，再利用直角三角形面积求法得出答案．

解答 解：（1）将A（4，0）、E（-2，0）、B（0，2），代入y=ax²+bx+c，
则$\left\{\begin{array}{l}{c=2}\\{16a+4b+c=0}\\{4a-2b+c=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{4}}\\{b=\frac{1}{2}}\\{c=2}\end{array}\right.$．
故抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{1}{2}$x+2；

（2）由题意可得：AP=$\sqrt{5}$t，
∵∠PAB=90°，
∴∠BAO+∠PAC=90°，
∵∠CPA+∠PAC=90°，
∴∠CPA=∠OAB，
∵∠BOA=∠PCA，
∴△AOB∽△PCA，
∴$\frac{AB}{AP}$=$\frac{BO}{AC}$=$\frac{AO}{PC}$，
∵BO=2，AO=4，
∴AB=2$\sqrt{5}$，
∴$\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{5}t}$=$\frac{2}{AC}$
解得：AC=t，
则PC=2t，
S=S_△ABP-S_△ADP=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{5}$×$\sqrt{5}$t-$\frac{1}{2}$×2t×t=-t²+5t．
∴t的取值范围是0＜t＜4；

（3）连结CD，交AP于点G，过点作D H⊥x轴，垂足为H，
∵把△ACP沿AP对折，使点C落在点D处，
∴AP⊥DC，
∴∠AGC=∠ACP=90°，
∵∠CAG=∠PAC，
∴△PAC∽△CAG，
同理可得：△ACG∽△DCH，
∴可得△ACG∽△DCH∽△BAO，
则OB：OA：AB=1：2：$\sqrt{5}$，
因为∠DAP=∠CAP，点D始终在过点A的一条定直HE线上运动，
设这条定直线与y轴交于点F，
当AC=t=1时，设AG=x，则GC=2x，
故x²+（2x）²=1，
解得：x=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴CG=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴DC=2CG=2×$\frac{2}{5}$$\sqrt{5}$=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
∴DH=$\frac{4}{5}$，HC=$\frac{8}{5}$，
∴OH=5-$\frac{8}{5}$=$\frac{17}{5}$，
∴点D的坐标为（$\frac{17}{5}$，$\frac{4}{5}$），
设AD的解析式为：y=kx+d，
则$\left\{\begin{array}{l}{4k+d=0}\\{\frac{17}{5}k+d=\frac{4}{5}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{4}{3}}\\{d=\frac{16}{3}}\end{array}\right.$．
∴直线AD的解析式为：y=-$\frac{4}{3}$x+$\frac{16}{3}$，
当x=0，则y=$\frac{16}{3}$，
∴点F的坐标为（0，$\frac{16}{3}$），
AF=$\sqrt{（\frac{16}{3}）^{2}+{4}^{2}}$=$\frac{20}{3}$，
此时RT△FAO斜边上高，即为OD的最小距离：4×$\frac{16}{3}$÷$\frac{20}{3}$=$\frac{48}{15}$=$\frac{16}{5}$．

点评 此题主要考查了二次函数综合以及相似三角形的判定与性质和待定系数法求函数解析式等知识，利用数形结合得出F点坐标是解题关键．