Question

5．将矩形ABCD对折，设折痕为MN，再把B点叠在折痕线MN上点B′，若AB=$\sqrt{3}$，折痕AE的长为2．

Answer 1

分析 由平分线分线段成比例定理可知：EB′=FB′，然后可证明△AEB′≌△AFB′，于是得到∠B′AE=∠B′AD．由折叠可得∠EAB′=∠BAE，那么组成直角的三个角相等，每个角都为30°，最后再△ABE中，利用特殊锐角三角函数值可求得AE的长．

解答 解：如图所示：延长EB′与AD交于点F．
∵∠AB′E=∠B=90°，MN是对折折痕，
∴EB′=FB′，∠AB′E=∠AB′F．
在△AEB′和△AFB′，$\left\{\begin{array}{l}{AB′=AB′}\\{∠AB′E=∠AB′F}\\{EB′=FB′}\end{array}\right.$，
∴△AEB′≌△AFB′．
∴∠B′AE=∠B′AD．
由翻折的性质可知：∠BAE=∠EAB′，
∴∠BAE=∠EAB′=∠B′AF=30°
∴AE=AB÷cos30°=$\sqrt{3}÷\frac{\sqrt{3}}{2}$=2．
∴AE=2．
故答案为：2．

点评 本题主要考查的是翻折的性质、全等三角形的性质和判定、平行线分线段成比例定理，特殊锐角三角函数值，求得∠BAE=30°是解题的关键．