Question

20．利用一面墙（墙EF最长可利用25米），用砌37米长的墙的材料围成一个矩形花园ABCD，与围墙平行的一边BC上要预留3米宽的入口（如图中MN所示，不用砌墙）．设边AB的长是x米，矩形花园ABCD的面积是y平方米．
（1）直接写出y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围；
（2）当x为何值时，这个矩形花园ABCD的面积y最大，并求出这个最大值；
（3）当矩形花园ABCD的面积不小于128平方米时，x的取值范围是7.5≤x≤16．

Answer 1

分析 （1）设边AB的长是x米，则BC=（40-2x）米．利用矩形的面积公式列出函数关系是即可；
（2）利用配方法求得函数的最大值即可；
（3）根据题意列出不等式，然后解不等式即可求得x的取值范围．

解答 解：（1）设边AB的长是x米，则BC=（37+3-2x）=（40-2x）米．
∴y=（40-2x）x=-2x²+40x．
∴y=-2x²+40x（7.5≤x≤18.5）．
（2）y=-2x²+40x
=-2（x²-20x）
=-2（x²-20x+100-100）
=-2[（x-10）²-100]
=-2（x-10）²+200
∴当x=10时，这个矩形花园ABCD的面积y最大，最大值为200平方米．
（3）根据题意得：-2（x-10）²+200≥128．
解得：4≤x≤16．
∵7.5≤x≤18.5，
∴x的取值范围是7.5≤x≤16．
故答案为：7.5≤x≤16．

点评 本题主要考查的是二次函数的应用，根据题意列出关于函数的解析式是解题的关键．