Question

3．已知抛物线经过A（-2，0），B（-3，3）及原点O，顶点为C
（1）求抛物线的函数解析式．
（2）判断△BOC的形状．
（3）设点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且以AO为边的四边形AODE是平行四边形，请求出点D的坐标．
（4）P是抛物线上第一象限内的动点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以P，M，A为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c（a≠0），把点A（-2，0），B（-3，3），O（0，0），代入求出a，b，c的值即可；
（2）运用勾股定理计算OB，BC，OC的长，运用勾股定理逆定理判断；
（3）首先由A的坐标可求出OA的长，再根据四边形AODE是平行四边形，D在对称轴直线x=-1右侧，进而可求出D横坐标为：-1+2=1，代入抛物线解析式即可求出其横坐标；
（4）分△PMA∽△COB和△PMA∽△BOC表示出PM和AM，从而表示出点P的坐标，代入求得的抛物线的解析式即可求得t的值，从而确定点P的坐标．

解答 解：（1）设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c（a≠0），
将点A（-2，0），B（-3，3），O（0，0），代入可得：
$\left\{\begin{array}{l}{4a-2b+c=0}\\{9a-3b+c=0}\\{c=0}\end{array}\right.$，
解得：
$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=2}\\{c=0}\end{array}\right.$，
所以函数解析式为：y=x²+2x；
（2）顶点C（-1，-1），B（-3，3），O（0，0），
∴OB=3$\sqrt{2}$，BC=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，OC=$\sqrt{2}$
∵（3$\sqrt{2}$）²+（$\sqrt{2}$）²=（2$\sqrt{5}$）²
∴OB²+OC²=BC²
∴△BOC是直角三角形．
（3）∵AO为平行四边形的一边，
∴DE∥AO，DE=AO，
∵A（-2，0），
∴DE=AO=2
∵四边形AODE是平行四边形，
∴D在对称轴直线x=-1右侧，
∴D横坐标为：-1+2=1，代入抛物线解析式得y=3，
∴D的坐标为（1，3）；
当D点在对称轴直线x=-1的左侧时，
根据二次函数图象的对称性可知点D的坐标为（-3，3），
综上点D的坐标为（1，3）或（-3，3）；
（4）存在．
如图：∵B（-3，3），C（-1，-1），
根据勾股定理得：BO²=18，CO²=2，BC²=20，
∵BO²+CO²=BC²，
∴△BOC是直角三角形，
假设存在点P，使以P，M，A为顶点的 三角形与△BOC相似，
设P（x，y），由题意知x＞0，y＞0，且y=x²+2x，
①若△PMA∽△COB，则
$\frac{AM}{BO}=\frac{PM}{CO}$，
即x+2=3（x²+2x），得
x₁=$\frac{1}{3}$，x₂=-2（舍去）
当x=$\frac{1}{3}$时，y=x²+2x=$\frac{7}{9}$，
即P（$\frac{1}{3}$，$\frac{7}{9}$）；
②若△PMA∽△BOC，
$\frac{AM}{CO}=\frac{PM}{BO}$，
即：x²+2x=3（x+2），
得：x₁=3，x₂=-2（舍去）当x=3时，y=15，即P（3，15）．
得：x₁=3，x₂=-2（舍去）
当x=3时，y=15，即P（3，15）．
故符合条件的点P有两个，分别（$\frac{1}{3}$，$\frac{7}{9}$）或（3，15）．

点评 本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、平行四边形的性质、勾股定理和逆定理的运用、相似三角形的判定和性质等知识点，综合性强，同时也考查了学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．