题目内容
如图，在边长为10的菱形ABCD中，对角线BD=16，点E是AB的中点，P是BD上的动点，则△PAE周长的最小值为考点：轴对称-最短路线问题,菱形的性质
专题：
分析：根据要求的结论，△PAE周长的最小值即是PA+PE最小，点P又在BD上，则连接AC，EC，与BD的交点即为点P，再根据线段垂直平分线的性质，求得△PAE周长的最小值，进而求得△PAE周长的最小值；
解答：
解：如图：连接EC，与BD的交于点P，连接AC，此时△PAE周长的最小．
∵菱形ABCD，
∴AC⊥BD，
∵BC=10，BD=16，
∴OB=OD=8，
∴OC=
=6，
∴AC=12，
∴S△ACB=
AC•OB=
×12×8=48，
∵AE=BE=5，
∴S△AEC=24，
过E作EF⊥AC于F，
∵S△AEC=
AC•EF=
×12EF=24，
∴EF=4，
∴AF=
=
=3，
∴CF=AC-AF=12-3=9，
∴CE=
=
=
，
∵PA=PC，
∴PA+PE=CE=
，
∴PA+PE+AE=5+
，
故答案为：5+
．
解：如图：连接EC，与BD的交于点P，连接AC，此时△PAE周长的最小．∵菱形ABCD，
∴AC⊥BD，
∵BC=10，BD=16，
∴OB=OD=8，
∴OC=
| BC2-OD2 |
∴AC=12，
∴S△ACB=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∵AE=BE=5，
∴S△AEC=24，
过E作EF⊥AC于F，
∵S△AEC=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∴EF=4，
∴AF=
| AE2-EF2 |
| 52-42 |
∴CF=AC-AF=12-3=9，
∴CE=
| CF2+EF2 |
| 92+42 |
| 97 |
∵PA=PC，
∴PA+PE=CE=
| 97 |
∴PA+PE+AE=5+
| 97 |
故答案为：5+
| 97 |
点评：本题考查了菱形的性质，等腰三角形的判定、勾股定理的应用、三角形面积公式的应用及点对称的应用．
练习册系列答案
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