Question

11．如图，直线l与半径为3的⊙O相切于点A，P是⊙O上的一个动点（不与点A重合），过点P作PB⊥l，垂足为B，连结PA，设PA=m，PB=n，则m-n的最大值是（　　）

• A． 3
• B． 2
• C． $\frac{3}{2}$
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 作直径AC，连接CP，得出△APC∽△PBA，利用$\frac{AP}{AC}$=$\frac{BP}{AP}$，得出m-n=m-$\frac{1}{6}$m²=-$\frac{1}{6}$m²+m=-$\frac{1}{6}$（m-3）²$+\frac{3}{2}$，所以m-n的最大值是$\frac{3}{2}$．

解答 解：如图，作直径AC，连接CP，

∴∠CPA=90°，
∵AB是切线，
∴CA⊥AB，
∵PB⊥l，
∴AC∥PB，
∴∠CAP=∠APB，
∴△APC∽△PBA，
∴$\frac{AP}{AC}$=$\frac{BP}{AP}$，
∵PA=m，PB=n，半径为3，
∴$\frac{m}{6}$=$\frac{n}{m}$，
∴n=$\frac{1}{6}$m²，
∴m-n=m-$\frac{1}{6}$m²=-$\frac{1}{6}$m²+m=-$\frac{1}{6}$（m-3）²$+\frac{3}{2}$，
∴m-n的最大值是$\frac{3}{2}$．
故选C．

点评 此题考查了切线的性质，平行线的性质，相似三角形的判定与性质，以及二次函数的性质，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．