Question

5．如图，已知直线y=-x+b（b＞0）与双曲线y=$\frac{k}{x}$（x＞0）交 于A、B两点，连接OA、OB，AM⊥y轴于点M，BN⊥x轴于点N，下列结论：①OA=OB；②△AOM≌△BON；③当AB=$\sqrt{2}$时，ON=BN=1．④若∠AOB=45°，则S_△AOB=k；其中结论正确的是（　　）

• A． ②③
• B． ①③④
• C． ①②④
• D． ①②③④

Answer 1

分析 ①②设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），联立y=-x+b与y=$\frac{k}{x}$，得x²-bx+k=0，则x₁•x₂=k，又x₁•y₁=k，比较可知x₂=y₁，同理可得x₁=y₂，即ON=OM，AM=BN，可证结论；
③延长MA，NB交于G点，可证△ABG为等腰直角三角形，当AB=时，GA=GB=1，则ON-BN=GN-BN=GB=1；
④作OH⊥AB，垂足为H，根据对称性可证△OAM≌△OAH≌△OBH≌△OBN，可证S_△AOB=k．

解答 解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），代入y=$\frac{k}{x}$，中，得x₁•y₁=x₂•y₂=k，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+b}\\{y=\frac{k}{x}}\end{array}\right.$，得x²-bx+k=0，
则x₁•x₂=k，又x₁•y₁=k，
∴x₂=y₁，
同理x₂•y₂=k，
可得x₁=y₂，
∴ON=OM，AM=BN，
∴②△AOM≌△BON，故本选项正确；
①由②可知，OA=OB，故本选项正确；
③如图1，延长MA，NB交于G点，
∵NG=OM=ON=MG，BN=AM，
∴GB=GA，
∴△ABG为等腰直角三角形，
当AB=$\sqrt{2}$时，GA=GB=1，
∴ON-BN=GN-BN=GB=1，
∴当AB=$\sqrt{2}$时，ON-BN=1，故本选项正确；
④如图2，作OH⊥AB，垂足为H，
∵OA=OB，∠AOB=45°，
∵①△AOM≌△BON，故本选项正确；
∴∠MOA=∠BON=22.5°，
∠AOH=∠BOH=22.5°，
∴△OAM≌△OAH≌△OBH≌△OBN，
∴S_△AOB=S_△AOH+S_△BOH=S_△AOM+S_△BON=$\frac{1}{2}$k+$\frac{1}{2}$k=k，故本选项正确．
故选D．

点评 本题主要考查反比例函数与一次函数的交点，能利用待定系数法求出点的坐标，综合运用全等三角形和等腰直角三角形的性质是解决此题的关键．