Question

15．如图，在四边形ABCD中，∠B=60°，∠BCD=90°，AB=BC=8，E为BC的中点，连结DE，若DE平分∠ADC，则△ECD的面积是8$\sqrt{3}$-8$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 连接AE、AC，过D作DF⊥AE于F，求出矩形FECD，推出DC=EF，DF=EC=4，根据勾股定理求出AE、AF，求出AD=AE，求出DC，根据三角形的面积公式求出即可．

解答 解：
连接AE、AC，过D作DF⊥AE于F，
∵∠B=60°，AB=BC=8，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，
∵E为BC中点，
∴AE⊥BC，
∵∠BCD=90°，
∴∠CDE=∠AED，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE=∠CDE，
∴∠AED=∠ADE，
∴AD=AE，
在Rt△AEB中，∠AEB=90°，AB=8，BE=EC=4，由勾股定理得：AE=4$\sqrt{3}$，
即AD=4$\sqrt{3}$，
∵DF⊥AE，∠BCD=90°，AE⊥BC，
∴∠ECD=∠DFE=∠FEC=90°，
∴四边形FECD是矩形，
∴DF=EC=4，DC=EF，
在Rt△AFD中，由勾股定理得：AF=$\sqrt{A{D}^{2}-F{D}^{2}}$=$\sqrt{（4\sqrt{3}）^{2}-{4}^{2}}$=4$\sqrt{2}$，
∴DC=EF=AE-AF=4$\sqrt{3}$-4$\sqrt{2}$，
∴△ECD的面积是$\frac{1}{2}$×EC×DC=$\frac{1}{2}$×4×（4$\sqrt{3}$-4$\sqrt{2}$）=8$\sqrt{3}$-8$\sqrt{2}$，
故答案为：8$\sqrt{3}$-8$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了角平分线性质，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的判定，勾股定理的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键．