Question

4．如图，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，过点P作⊙O的切线，切点为D，PD的延长线与弦BE的延长线交于点C，连接BD．
（1）当点D为弧AE的中点时，试判断△PBC的形状，并说明理由；
（2）连接AE，当BC=12，PC=16时，在（1）的条件下，求AE的长．

Answer 1

分析 （1）首先连接OD，由过点P作⊙O的切线，切点为D，可得OD⊥PC，又由点D为弧AE的中点，根据垂径定理即可求得OD⊥AE，AB是⊙O的直径，易证得OD∥BC，即可证得∠C=90°，判定△PBC是直角三角形；
（2）首先过点D作DF⊥PB于点F，由点D为弧AE的中点，可判定BD是∠PBC的角平分线，则可得CD=DF，然后利用三角形的面积，求得CD的长，易证得△POD∽△PBC，可求得OD的长，又由△ABE∽△PBC，求得AE的长．

解答 解：（1）△PBC是直角三角形．
理由：连接OD，
∵PD是⊙O的切线，
∴OD⊥PD，
∵点D为弧AE的中点，
∴OD⊥AE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∴AE⊥BE，
∴OD∥BE，
∴BC⊥PC，
即△PBC是直角三角形；

（2）过点D作DF⊥PB于点F，
∵点D为弧AE的中点，
∴$\widehat{DE}$=$\widehat{DA}$，
∴∠CBD=∠PBD，
∵BC⊥PC，
∴DC=DF，
设CD=x，则DF=x，
∵BC⊥PC，BC=12，PC=16，
∴PB=$\sqrt{B{C}^{2}+P{C}^{2}}$=20，
∵S_△PBC=S_△BCD+S_△PBD，
∴$\frac{1}{2}$BC•PC=$\frac{1}{2}$BC•CD+$\frac{1}{2}$PB•DF，
即$\frac{1}{2}$×12×16=$\frac{1}{2}$×12x+$\frac{1}{2}$×20x，
解得：x=6，
∴CD=6，
∴PD=PC-CD=10，
∵OD∥BC，
∴△POD∽△PBC，
∴$\frac{PD}{PC}=\frac{OD}{BC}$，
即$\frac{10}{16}=\frac{OD}{12}$，
解得：OD=7.5，
∴AB=2OD=15，
∵∠AEB=∠C=90°，∠ABE=∠PBC，
∴△ABE∽△PBC，
∴$\frac{AE}{PC}=\frac{AB}{PB}$，
即$\frac{AE}{16}=\frac{15}{20}$，
解得：AE=12．

点评 此题考查了切线的性质、垂径定理、圆周角定理以及相似三角形的判定与性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．