Question

18．为缓解交通拥堵，某区拟计划修建一地下通道，该通道一部分的截面如图所示（图中地面AD与通道BC平行），通道水平宽度BC为8米，∠BCD=135°，通道斜面CD的长为6米，通道斜面AB的坡度i=1：$\sqrt{2}$．
（1）求通道斜面AB的长；
（2）为增加市民行走的舒适度，拟将设计图中的通道斜面CD的坡度变缓，修改后的通道斜面DE的坡角为30°，求此时BE的长．（答案均精确到0.1米，参考数据：$\sqrt{2}$≈1.41，$\sqrt{5}$≈2.24，$\sqrt{6}$≈2.45）

Answer 1

分析 （1）过点A作AN⊥CB于点N，过点D作DM⊥BC于点M，解Rt△CMD，得出DM=CM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$CD=3$\sqrt{2}$，则AN=DM=3$\sqrt{2}$，再解Rt△ANB，由通道斜面AB的坡度i=1：$\sqrt{2}$，得出BN=$\sqrt{2}$AN=6，然后根据勾股定理求出AB；
（2）先解Rt△MED，求出EM=$\sqrt{3}$DM=3$\sqrt{6}$，那么EC=EM-CM=3$\sqrt{6}$-3$\sqrt{2}$，再根据BE=BC-EC即可求解．

解答 解：（1）过点A作AN⊥CB于点N，过点D作DM⊥BC于点M，
∵∠BCD=135°，
∴∠DCM=45°．
∵在Rt△CMD中，∠CMD=90°，CD=6，
∴DM=CM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$CD=3$\sqrt{2}$，
∴AN=DM=3$\sqrt{2}$，
∵通道斜面AB的坡度i=1：$\sqrt{2}$，
∴tan∠ABN=$\frac{AN}{BN}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}$，
∴BN=$\sqrt{2}$AN=6，
∴AB=$\sqrt{A{N}^{2}+B{N}^{2}}$=3$\sqrt{6}$≈7.4．
即通道斜面AB的长约为7.4米；

（2）∵在Rt△MED中，∠EMD=90°，∠DEM=30°，DM=3$\sqrt{2}$，
∴EM=$\sqrt{3}$DM=3$\sqrt{6}$，
∴EC=EM-CM=3$\sqrt{6}$-3$\sqrt{2}$，
∴BE=BC-EC=8-（3$\sqrt{6}$-3$\sqrt{2}$）=8+3$\sqrt{2}$-3$\sqrt{6}$≈4.9．
即此时BE的长约为4.9米．

点评 本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，三角函数的定义，勾股定理，准确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．