Question

5．二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其顶点坐标为（1，n），且与x轴的一个交点在（3，0）和（4，0）之间，则下列结论：
①a-b+c＞0；
②3a+b=0；
③若（-$\frac{1}{2}$，y₁），（$\frac{9}{4}$，y₂）是抛物线上的两点，则y₁＜y₂；
④一元二次方程ax²+bx+c=n-1有两个不相等的实数根．
其中正确结论的个数是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 利用抛物线的对称性可得到抛物线与x轴的一个交点在（-2，0）和（-1，0）之间，则x=-1时，y＞0，于是可对①进行判断；利用抛物线对称轴方程得到b=-2a，则3a+b=3a-2a=a，于是可对②进行判断；利用二次函数的性质可对③进行判断；利用抛物线与直线y=n-1有两个交点可对④进行判断．

解答 解：∵抛物线的对称轴为直线x=1，抛物线与x轴的一个交点在（3，0）和（4，0）之间，
∴抛物线与x轴的一个交点在（-2，0）和（-1，0）之间，
∴x=-1时，y＞0，
即a-b+c＞0，所以①正确；
∵抛物线的对称轴为x=-$\frac{b}{2a}$=1，
∴b=-2a，
∴3a+b=3a-2a=a≠0，所以②错误；
∵点（-$\frac{1}{2}$，y₁）到直线x=1的距离比点（$\frac{9}{4}$，y₂）到直线x=1的距离大，
而抛物线开口向下，
∴y₁＜y₂，所以③正确；
∵x=1时，y有最大值为n，
∴抛物线与直线y=n-1有两个交点，
∴一元二次方程ax²+bx+c=n-1有两个不相等的实数根，所以④正确．
故选C．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．