Question

16．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，CD⊥AB于D．△ACD沿AC翻折后点D落在点E，AE交⊙O于点F；连接OC、FC．
（1）求证：EC是⊙O的切线．
（2）若CF∥OA时，求证：四边形AOCF是菱形．

Answer 1

分析 （1）首先由翻折的性质，可得∠EAC=∠OAC，∠E=∠ADC=90°，然后判断出OC∥AE，即可推得∠OCE=90°，据此证得EC是⊙O的切线即可．
（2）首先根据OC∥AE，CF∥OA，判断出四边形AOCF是平行四边形；然后根据OA=OC，判断出四边形AOCF是菱形即可．

解答 （1）证明：如图1，

∵△ACD沿AC翻折后得到△ACF，
∴∠EAC=∠OAC，∠E=∠ADC=90°，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠EAC=∠OCA，
∴OC∥AE，
又∵∠E=90°，
∴∠OCE=90°，
∴CE⊥OC，
∵OC是⊙O的半径，
∴CE是⊙O的切线．

（2）证明：由（1），可得OC∥AE，
又∵CF∥OA，
∴四边形AOCF是平行四边形，
又∵OA=OC，
∴四边形AOCF是菱形．

点评 （1）此题主要考查了切线的性质和判定，切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线．
（2）此题还考查了翻折变换（折叠问题），要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
（3）此题还考查了菱形的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①菱形具有平行四边形的一切性质；②菱形的四条边都相等； ③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．