Question

6．如图，在四边形ABCD中，DA=DC，P为对角线BD上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，且PM=PN，
（1）求证：AB=CB；
（2）若∠ADC=90°，求证：四边形MPND是正方形．

Answer 1

分析 （1）根据到角两边距离相等的点在角的平分线上可得DB平分∠ADC，然后再证明△ABD≌△CBD可得AB=BC；
（2）首先根据三个角是直角的四边形是矩形可得四边形PMDN是矩形，再根据邻边相等的矩形是正方形可得结论．

解答 证明：（1）∵PM⊥AD，PN⊥CD，且PM=PN，
∴DB平分∠ADC，
∴∠ADB=∠CDB，
在△ABD和△CBD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=DC}\\{∠ADB=∠CDB}\\{BD=BD}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△CBD（SAS），
∴AB=BC；

（2）∵PM⊥AD，PN⊥CD，
∴∠PMD=∠PND=90°，
∵∠ADC=90°，
∴四边形PMDN是矩形，
∵PM=PN，
∴四边形MPND是正方形．

点评 此题主要考查了正方形的判定，以及全等三角形的判定和性质，关键是掌握到角两边距离相等的点在角的平分线上，邻边相等的矩形是正方形．