Question

11．如图，点E、F位于正方形ABCD边BC、CD上，且BE：EC=2：1，∠EAF=30°，则CF：FD=$\frac{1+13\sqrt{3}}{23}$．

Answer 1

分析 延长AF，与BC的延长线交于点G． 由已知条件BE：EC=2：1，得到BE：BC=2：3，即BE：AB=2：3 根据三角函数的定义得到tan∠BAE=$\frac{2}{3}$，tan∠GAE=tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，于是得到tan∠GAB=tan（∠BAE+∠GAE）=$\frac{tan∠BAE+tan∠GAE}{1-tan∠BAE•tan∠GAE}$=$\frac{24+13\sqrt{3}}{23}$，证得BG：AB=$\frac{24+13\sqrt{3}}{23}$，于是得到结论．

解答 解：延长AF，与BC的延长线交于点G．
∵BE：EC=2：1，
∴BE：BC=2：3，即BE：AB=2：3
∴tan∠BAE=$\frac{2}{3}$，tan∠GAE=tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴tan∠GAB=tan（∠BAE+∠GAE）
=$\frac{tan∠BAE+tan∠GAE}{1-tan∠BAE•tan∠GAE}$
=$\frac{24+13\sqrt{3}}{23}$，
∴BG：AB=$\frac{24+13\sqrt{3}}{23}$，
∵AD∥CG，
∴△CGF∽△ADF，
∴$\frac{CF}{DF}=\frac{CG}{AD}$，
∵AD=BC，
∴$\frac{CF}{DF}$=$\frac{CG}{BC}$=$\frac{BG-BC}{BC}$=$\frac{BG}{BC}$-1=$\frac{BG}{AB}$-1=$\frac{24+13\sqrt{3}}{23}$-1=$\frac{1+13\sqrt{3}}{23}$．
故答案为：$\frac{1+13\sqrt{3}}{23}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，两角和的正切值，正方形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．