Question

5．如图1，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点（点G与C、D不重合），以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连接BG，DE．
（1）猜想图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系，不必证明；
（2）将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针方向旋转任意角度α，得到如图2情形．请你通过观察、测量等方法判断（1）中得到的结论是否仍然成立，并证明你的判断．

Answer 1

分析 （1）延长BG交DE于点H，易证△BCG≌△DCE，所以∠GBC=∠EDC，BG=DE，所以∠DHB=90°；
（2）易证△BCG≌△DCE，所以∠GBC=∠EDC，BG=DE，所以∠BCD=90°．

解答 解：（1）延长BG交DE于点H，
在△BCG与△DCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=DC}\\{∠BCG=∠DCE}\\{CG=CE}\end{array}\right.$，
∴△BCG≌△DCE（SAS），
∴∠GBC=∠EDC，BG=DE，
∵∠BGC=∠DGH，
∴∠DHB=∠BCG=90°，
∴BG⊥DE；

（2）BG=DE，BG⊥DE仍然成立
如图2，∠BCD+∠DCG=∠ECG+∠DCG，
即∠BCG=∠DCE，
在△BCG与△DCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=DC}\\{∠BCG=∠DCE}\\{CG=CE}\end{array}\right.$，
∴△BCG≌△DCE（SAS），
∴∠GBC=∠EDC，BG=DE，
∵∠BHC=∠DHG，
∴∠BCD=∠DOB=90°，
即BG⊥DE

点评 本题主要考查正方形，涉及正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，综合程度较高，需要学生灵活所知识解答．