Question

【题目】为鼓励大学毕业生自主创业，某市政府出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担．李明按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯．已知这种节能灯的成本价为每件8元，出厂价为每件10元，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系近似满足一次函数：y=-10x+500．

（1）李明在开始创业的第一个月将销售单价定为20元，那么政府这个月为他承担的总差价为多少元？

（2）设李明获得的利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？

（3）物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于25元．如果李明想要每月获得的利润不低于3410元，那么政府为他承担的总差价最少为多少元？

Answer 1

【答案】（1）600元；（2）单价定为29元，每月获得最大利润4410元；（3）500元

【解析】

（1）把x＝20代入y＝10x＋500求出销售的件数，然后求出政府承担的成本价与出厂价之间的差价；
（2）由总利润＝销售量每件纯赚利润，得w＝（x8）（10x＋500），把函数转化成顶点坐标式，根据二次函数的性质求出最大利润；
（3）令10x2＋580x4000＝3410，求出x的值，结合图象求出利润的范围，然后设政府每个月为他承担的总差价为p元，根据一次函数的性质求出总差价的最小值．

解：（1）当x＝20时，y＝10x＋500＝10×20＋500＝300，
300×（108）＝300×2＝600元，
即政府这个月为他承担的总差价为600元．
（2）由题意得，w＝（x8）（10x＋500）=10x2＋580x4000=-10（x-29）2+4410，

∵a＝10＜0，

∴当x＝29时，w有最大值4410元．
即当销售单价定为29元时，每月可获得最大利润4410元．
（3）由题意得：10x2＋580x4000＝3410，
解得：x1＝19，x2＝39．
∵a＝10＜0，抛物线开口向下，

∴结合图象可知：当19≤x≤39时，w≥3410．
又∵x≤25，
∴当19≤x≤25时，w≥3410．
设政府每个月为他承担的总差价为p元，
∴p＝（108）×（10x＋500）
＝20x＋1000．
∵20＜0．
∴p随x的增大而减小，
∴当x＝25时，p有最小值500元．
即销售单价定为25元时，政府每个月为他承担的总差价最少为500元．