Question

18．如图，已知正方形ABCD的边长为3，在CD边上取一点E，使DE=1，连接AE，过点D作DF⊥AE于点F，连接BF过点A作AG⊥BF于点G，连接CG，则CG=$\frac{3}{130}$$\sqrt{6890}$．

Answer 1

分析 作FM⊥AB于M，MF交CD的延长线于N，作GH⊥AB于H，GK⊥BC于K．则四边形AMND，四边形GHBK是矩形．在Rt△CKG中，利用勾股定理，想办法求出GK、CK即可解决问题．

解答 解：作FM⊥AB于M，MF交CD的延长线于N，作GH⊥AB于H，GK⊥BC于K．则四边形AMND，四边形GHBK是矩形．

∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CD=BC=AB=3，∠ADC=∠ABC=90°，
在Rt△ADE中，AE=$\sqrt{A{D}^{2}+D{E}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
∵DF⊥AE，
∴DF=$\frac{AD•DE}{AE}$=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，EF=$\sqrt{D{E}^{2}-D{F}^{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
∴FN=$\frac{DF•EF}{DE}$=$\frac{3}{10}$，FM=3-$\frac{3}{10}$=$\frac{27}{10}$，DN=$\frac{9}{10}$
∴BM=AB-AM=3-$\frac{9}{10}$=$\frac{21}{10}$，
在Rt△BMF中，BF=$\sqrt{B{M}^{2}+M{F}^{2}}$=$\frac{3}{10}$$\sqrt{130}$，
∵$\frac{1}{2}$•AB•FM=$\frac{1}{2}$•FB•AG，
∴AG=$\frac{27}{130}$$\sqrt{130}$，
在Rt△ABG中，BG=$\sqrt{A{B}^{2}-A{G}^{2}}$=$\frac{21}{130}$$\sqrt{130}$，
同法HG=$\frac{AG•BG}{AB}$=$\frac{189}{130}$，
在Rt△BHG中，BH=GK=$\sqrt{B{G}^{2}-G{H}^{2}}$=$\frac{147}{130}$，
在Rt△CKG中，CG=$\sqrt{C{K}^{2}+G{K}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{147}{130}）^{2}+（\frac{201}{130}）^{2}}$=$\frac{3}{130}$$\sqrt{6890}$．
故答案为$\frac{3}{130}$$\sqrt{6890}$．

点评 本题考查正方形的性质、勾股定理、面积法等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，计算量比较大．