Question

4．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的对角线OB、AC相交于点D，且BE∥AC，CE∥OB．
（1）求证：四边形CDBE是菱形；
（2）如果OA=4，OC=3，求出经过点E的反比例函数解析式．

Answer 1

分析 （1）由BE∥AC，CE∥OB结合平行四边形的判定定理可得出四边形CDBE是平行四边形，再由矩形的性质可得出DC=DB，从而得出四边形CDBE是菱形；
（2）连接DE，交BC于点F，根据菱形的性质结合线段OA、OC的长度，由此即可得出点E的坐标，由点E的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可得出结论．

解答 （1）证明：∵BE∥AC，CE∥OB，
∴四边形CDBE是平行四边形．
又∵四边形OABC是矩形，
∴OB与AC相等且互相平分，
∴DC=DB．
∴四边形CDBE是菱形．
（2）解：连接DE，交BC于点F，如图所示．

∵四边形CDBE是菱形，
∴BC与DE互相垂直平分．
又∵OA=4，OC=3，
∴EF=DF=$\frac{1}{2}$OC=$\frac{3}{2}$，CF=$\frac{1}{2}$OA=2，
∴E点的坐标为（2，$\frac{9}{2}$）．
设反比例函数解析式为y=$\frac{k}{x}$，
则k=2×$\frac{9}{2}$=9，
∴经过点E的反比例函数解析式为y=$\frac{9}{x}$．

点评 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、矩形的性质以及菱形的判定及性质，解题的关键是：（1）找出DC=DB；（2）求出点E的坐标．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，求出点的坐标，再由点的坐标结合反比例函数图象上点的坐标特征求出反比例函数解析式是关键．