Question

19．如图，⊙O是△ABC的外接圆，C是优弧AB上一点，设∠OAB=α，∠C=β．
（1）当α=40°时，求β的度数；
（2）猜想α与β之间的关系，并给予证明．
（3）若点C平分优弧AB，且BC²=3OA²，试求α的度数．

Answer 1

分析 （1）连接OB，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠AOB的度数，根据圆周角定理计算即可；
（2）根据圆周角定理解答；
（3）过O作OK⊥AC于K，连接OC，利用锐角三角函数的定义求出∠OAC=∠OCA=30°即可．

解答 解：（1）如图1，连接OB，
∵OA=OB，∠OAB=40°，
∴∠OBA=∠OAB=40°，
∴∠AOB=180°-∠OAB-∠OBA，
∴∠AOB=180°-40°-40°=100°，
∴β=∠C=$\frac{1}{2}$∠AOB=50°；
（2）α与β之间的关系是α+β=90°；
证明：∵∠OBA=∠OAB=α，
∴∠AOB=180°-2α，
∵β=∠C=$\frac{1}{2}$∠AOB，
∴β=（180°-2α）=90°-α，
∴α+β=90°；
（3）∵点C平分优弧AB，
∴AC=BC，
∵BC²=3OA²，
∴AC=BC=$\sqrt{3}$OA，
过O作OK⊥AC于K，连接OC，
由垂径定理可知：AK=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$OA，
∴∠OAC=∠OCA=30°，
∴∠ACB=2∠ACO=2∠CAO=60°，
∴△ABC为正三角形，
则α=∠CAB-∠CAO=30°．

点评 本题考查的是三角形的外接圆和外心，掌握圆周角定理、等边三角形的判定定理、勾股定理、锐角三角函数的定义是解题的关键．