Question

7．如图，点O为Rt△ABC斜边AC上一点，以点O为圆心，OC长为半径的⊙O与AB相切于点D，分别交AC，BC于点G，E．
（1）求证：$\widehat{DG}$=$\widehat{DE}$．
（2）若DE∥AC，BE=1，求AG和$\widehat{DG}$的长．

Answer 1

分析 （1）连接OD．首先证明OD∥BC，推出∠ODC=∠DCE，由OD=OC，推出∠ODC=∠OCD，推出∠DCG=∠DCE即可证明；
（2）首先证明四边形ODEC是菱形，推出△OEC是等边三角形即可解决问题；

解答 （1）证明：连接OD．
∵AB是切线，
∴OD⊥AB，
∴∠ADO=∠B=90°，
∴OD∥BC，
∴∠ODC=∠DCE，
∵OD=OC，
∴∠ODC=∠OCD，
∴∠DCG=∠DCE，
∴$\widehat{DG}$=$\widehat{DE}$．

（2）连接OE．
∵DE∥OC，DO∥EC，
∴四边形ODEC是平行四边形，
∵OD=OC，
∴四边形ODEC是菱形，
∴OC=CE=OE，
∴△OEC是等边三角形，
∴∠BCA=60°，∠BDE=∠A=30°，
∵BE=1，
∴DE=OD=OC=EC=2BE=2，
∴BC=3，
∴AC=2BC=6，
∴AG=AC-CG=2，
$\widehat{DG}$的长=$\frac{60π•2}{180}$=$\frac{2}{3}$π．

点评 本题考查切线的性质、平行线的性质、菱形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．