Question

如图，矩形ABCD的顶点B，C在x轴上，A，D在抛物线y=-

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x²+2上，矩形ABCD在抛物线与x轴所围成的图形内．
（1）设点A的坐标为（x，y），试求矩形ABCD的周长P关于自变量x的函数关系式，并求自变量x的取值范围．
（2）是否存在这样的矩形ABCD，使它的周长为9？试证明你的结论．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：综合题

分析：（1）由图及四边形ABCD为矩形可知AD∥x轴，长为2x的绝对值，AB的长为A点的纵坐标，由x与y的关系，可求得p关于自变量x的解析式，由矩形ABCD在抛物线里面，可得x的取值范围．
（2）令P=9，解出x的值后，即可作出判断．

解答：解：（1）∵A点在x轴的正方向上坐标为（x，y），四边形ABCD为矩形，BC在x轴上，
∴AD∥x轴，
又∵抛物线关于y轴对称，
∴A、B关于y轴分别与D、C对称，
∴AD的长为2x，AB长为y，
∴周长p=2y+4x=2（-

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x²+2）+4x=-x²+4x+4，
∵A在抛物线上，且ABCD组成矩形，
∴0＜x＜2，
∴p=-x²+4x+4，其中0＜x＜2．

（2）由题意得：-x²+4x+4=9，
因为方程无解，
故不存在这样的矩形ABCD，使它的周长为9．

点评：本题考查了二次函数的综合，解答本题的关键是得出周长P关于x的表达式，难度一般，注意数形结合思想的运用．