Question

6．等腰Rt△ABC和⊙O如图放置，已知AB=BC=1，∠ABC=90°，⊙O的半径为1，圆心O与直线AB的距离为5．

（1）若△ABC以每秒2个单位的速度向右移动，⊙O不动，则经过多少时间△ABC的边与圆第一次相切？
（2）若两个图形同时向右移动，△ABC的速度为每秒2个单位，⊙O的速度为每秒1个单位，则经过多少时间△ABC的边与圆第一次相切？

Answer 1

分析 （1）分析易得，第一次相切时，与斜边相切，假设此时，△ABC移至△A′B′C′处，A′C′与⊙O切于点E，连OE并延长，交B′C′于F．由切线长定理易得CC′的长，进而由三角形运动的速度可得答案；
（2）设运动的时间为t秒，根据三角形与圆第一次相切时三角形所走的路程等于AB与⊙O之间的距离加上⊙O所经过的路程解答．

解答 解：（1）假设第一次相切时，△ABC移至△A′B′C′处，
A′C′与⊙O切于点E，连OE并延长，交B′C′于F．
设⊙O与直线l切于点D，连OD，则OE⊥A′C′，OD⊥直线l．由切线长定理可知C′E=C′D′；
设C′D′=x，则C′E=x，易知C′F=$\sqrt{2}$x，
∴$\sqrt{2}$x+x=1，则x=$\sqrt{2}$-1，
∴CC′=BD′-C′D′-C′F=5-1-（$\sqrt{2}$-1）=5-$\sqrt{2}$；
∴点C运动的时间为$\frac{5-\sqrt{2}}{2}$；

（2）设经过t秒△ABC的边与圆第一次相切，
设经过t秒△ABC的边与⊙O第一次相切时，△ABC移至△A′B′C′处，⊙O与BC所在直线的切点D移至D′处，
A′C′与⊙O切于点E，连OE并延长，交B′C′于F．
∵CC′=2t，DD′=t，∴CD′=CD+DD′-CC′=4+t-2t=4-t．
由切线长定理得C′E=C′D′=4-t；
又∵FC′=$\sqrt{2}$C′E=$\sqrt{2}$C′D′
而FC′+C′D′=FD′=1
∴（$\sqrt{2}$+1）C′D′=（$\sqrt{2}$+1）（4-t）=1
解得：t=5-$\sqrt{2}$，
答：经过5-$\sqrt{2}$秒△ABC的边与圆第一次相切；

点评 本题考查了切线的判定，等腰直角三角形的性质，熟练掌握圆与直线的位置关系，并结合常见的函数进行综合分析是解题的关键，也考查了学生数形结合的分析能力．