Question

12．已知：如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交于点O，E是BO的中点，过B点作AC的平行线，交CE的延长线于点F，连接BF
（1）求证：FB=AO；
（2）当平行四边形ABCD满足什么条件时，四边形AFBO是菱形？说明理由．

Answer 1

分析 （1）如图，取BC的中点G．由三角形中位线定理易证EG=$\frac{1}{2}$BF=$\frac{1}{2}$OC；则由“有一组对边平行且相等的四边形为平行四边形”证得四边形AOBF为平行四边形．所以平行四边形的对边相等：FB=AO；
（2）若四边形AFBO是菱形，则OB=OA．故当平行四边形ABCD的对角线相等，即平行四边形ABCD是矩形时，四边形AFBO是菱形．

解答 证明：（1）如图，取BC的中点G，连接EG．
∵E是BO的中点，
∴EG是△BFC的中位线，
∴EG=$\frac{1}{2}$BF．
同理，EG=$\frac{1}{2}$OC，
∴BF=OC．
又∵点O是?ABCD的对角线交点，
∴AO=CO，
∴BF=AO．
又∵BF∥AC，即BF∥AO，
∴四边形AOBF为平行四边形，
∴FB=AO；

（2）当平行四边形ABCD是矩形时，四边形AFBO是菱形．理由如下：
∵平行四边形ABCD是矩形，
∴OA=OB，
∴平行四边形AFBO是菱形．

点评 本题考查了平行四边形的判定与性质以及菱形的判定，有利于学生思维能力的训练．涉及的知识点有：有一组邻边相等的平行四边形是菱形；矩形的对角线相等．