Question

15．已知平面直角坐标系中A、B两点坐标如图，若PQ是一条在x轴上活动的线段，且PQ=1，求当BP+PQ+QA最小时，点Q的坐标（$\frac{19}{7}$，0）．

Answer 1

分析 如图把点B向右平移1个单位得到E（1，3），作点E关于x轴的对称点F（1，-3），连接AF，AF与x轴的交点即为点Q，此时BP+PQ+QA的值最小．求出直线AF的解析式，即可解决问题．

解答 解：如图把点B向右平移1个单位得到E（1，3），作点E关于x轴的对称点F（1，-3），连接AF，AF与x轴的交点即为点Q，此时BP+PQ+QA的值最小．

设最小AF的解析式为y=kx+b，则有$\left\{\begin{array}{l}{k+b=-3}\\{5k+b=4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{7}{4}}\\{b=-\frac{19}{4}}\end{array}\right.$，
∴直线AF的解析式为y=$\frac{7}{4}$x-$\frac{19}{4}$，
令y=0，得到x=$\frac{19}{7}$，
∴Q（$\frac{19}{7}$，0），
故答案为（$\frac{19}{7}$，0）．

点评 本题考查轴对称最短问题、坐标与图形的性质、一次函数的应用等知识，解题的关键是学会利用对称解决最短问题，学会构建一次函数解决交点问题，属于中考常考题型．