题目内容
材料阅读：
在小学，我们了解到正方形的每个角都是90°，每条边都相等；本学期，我们通过折纸得到定理：直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半；同时探讨得知，在直角三角形中，30°的角所对的直角边是斜边的一半．
（1）如图1，在等边三角形△ABC内有一点P，且PA=2，PB=
，PC=1．求∠BPC的度数和等边△ABC的边长．
聪聪同学的思路是：将△BPC绕点B逆时针旋转60°，画出旋转后
的图形（如图2）．
连接PP′．根据聪聪同学的思路，可以证明△BPP′为等边三角形，又可以证明△ABP′≌△CBP，所以AP′=PC=1，根据勾股定理逆定理可证出△APP′为直角三角形，故此∠BPC=__________°；同时，可以说明∠BPA=90°，在Rt△APB中，利用勾股定理，可以求出等边△ABC的边AB=__________．
（2）请你参考聪聪同学的思路，探究并解决下列问题：如图3，在正方形ABCD内有一点P，且PA=
，BP=
，PC=1．求∠BPC的度数和正方形ABCD的边长．
【考点】四边形综合题．
【分析】（1）根据旋转得出AP′=CP=1，BP′=BP=
，∠PBC=∠P′BA，∠AP′B=∠BPC，求出∠ABP′+∠ABP=60°，得到等边△BPP′，推出PP′=，∠BP′P=60°，求出∠AP′P=90°即可求出∠BPC；然后在Rt△APB中，利用勾股定理可求得AB的长；
（2）求出∠BEP=
（180°﹣90°）=45°，根据勾股定理的逆定理求出∠AP′P=90°，推出∠BPC=∠AEB=90°+45°=135°；过点B作BF⊥AE，交AE的延长线于点F，求出FE=BF=1，AF=2，关键勾股定理即可求出AB．
【解答】解：（1）∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC=60°．
由旋转的性质可知：AP′=CP=1，BP′=BP=
，∠PBC=∠P′BA，∠AP′B=∠BPC．
∵∠PBC+∠ABP=∠ABC=60°，
∴∠ABP′+∠ABP=∠ABC=60°．
∴△BPP′是等边三角形．
∴PP′=，∠BP′P=60°．
∵AP′=1，AP=2，
∴AP′2+PP′2=AP2．
∴∠AP′P=90°．
∴∠BPC=∠AP′B=90°+60°=150°．
在Rt△AP′P中，sin∠APP′=
，
∴∠APP′=30°．
∴∠BPA=∠BPP′+∠APP′=60°+30°=90°．
Rt△APB中，由勾股定理可知：AB=
=
=
．
故答案为：150°；．
（2）将△BPC绕点B逆时针旋转90°得到△AEB，过点B作BF⊥AE，交AE的延长线于点F．
由旋转的性质可知：AE=PC=1，BE=BP=
，∠BPC=∠AEB，∠ABE=∠PBC，
∴∠EBP=∠EBA+∠ABP=∠ABC=90°．
∴∠BEP=
（180°﹣90°）=45°．
由勾股定理得：EP=
=2．
∵AE=1，AP=
，EP=2，
∴AE2+PE2=AP2．
∴∠AEP=90°．
∴∠BPC=∠AEB=90°+45°=135°．
∵PE⊥PA，BF⊥AF，
∴∠EBF=∠BEP=45°．
∴∠FEB=∠FBE=45°．
∴FE=BF=1．
∴AF=2．
∴在Rt△ABF中，由勾股定理得AB=．
∴∠BPC=135°，正方形边长为 ．
∴∠BPC的度数是135°，正方形ABCD的边长是
．
【点评】本题主要考查对勾股定理及逆定理，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，正方形的性质，旋转的性质等知识点的理解和掌握，正确作辅助线并能根据性质进行证明是解此题的关键．
b2+
B．
C．
D．
