Question

20．如图，在正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，过点E作EF⊥CE，交AB于点F，BF=2，BC=6，则EF=2$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 连接CF，由正方形的性质得出∠B=90°，∠DBC=45°，再由EF⊥CE，证得B、C、E、F四点共圆，得出△CEF为等腰直角三角形，求得EF=$\frac{CF}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$CF，再由勾股定理求得CF即可．

解答 解：连接CF，如图所示：
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠B=90°，∠DBC=45°，
∵EF⊥CE，
∴∠CEF=90°，
∴B、C、E、F四点共圆，
∴∠EFC=∠DBC=45°，
∴△CEF为等腰直角三角形，
∴EF=$\frac{CF}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$CF，
由勾股定理得：CF=$\sqrt{B{C}^{2}+B{F}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{10}$，
∴EF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×2$\sqrt{10}$=2$\sqrt{5}$，
故答案为：2$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了正方形1性质、勾股定理、四点共圆、圆周角定理、等腰直角三角形的判定与性质；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．