Question

5．如图，△ABC中，BC=a．
（1）若AD₁=$\frac{1}{3}$AB，AE₁=$\frac{1}{3}$AC，则D₁E₁=$\frac{1}{3}$a；
（2）若D₁D₂=$\frac{1}{3}$D₁B，E₁E₂=$\frac{1}{3}$E₁C，则D₂E₂=$\frac{5}{9}$a；…
（4）若D_n-1D_n=$\frac{1}{3}$D_n-1B，E_n-1E_n=$\frac{1}{3}$E_n-1C，则D_nE_n=$\frac{{3}^{n}-{2}^{n}}{{3}^{n}}$a．

Answer 1

分析 （1）根据相似三角形的判定定理推知△AD₁E₁∽△ABC，然后由相似三角形的对应边成比例得到D₁E₁=$\frac{1}{3}$=$\frac{{3}^{1}-{2}^{1}}{{3}^{1}}$；
（2）AD₂=AD₁+D₁D₂=$\frac{1}{3}$AB+$\frac{1}{3}$（AB-$\frac{1}{3}$AB）=$\frac{5}{9}$AB，然后由相似三角形的对应边成比例得到D₂E₂=$\frac{5}{9}$=$\frac{{3}^{2}-{2}^{2}}{{3}^{2}}$；
（3）AD₃=AD₂+$\frac{1}{3}$（AB-AD2）=$\frac{5}{9}$AB+$\frac{1}{3}$（AB-$\frac{5}{9}$AB）=$\frac{19}{27}$AB，然后由相似三角形的对应边成比例得到D₃E₃=$\frac{19}{27}$=$\frac{{3}^{3}{-2}^{3}}{{3}^{3}}$；
（4）由（1）、（2）、（3）可知$\frac{{3}^{n}-{2}^{n}}{{3}^{n}}$BC=$\frac{{3}^{n}-{2}^{n}}{{3}^{n}}$．

解答 解：（1）∵AD₁=$\frac{1}{3}$AB，AE₁=$\frac{1}{3}$AC，∠A=∠A，
∴△AD₁E₁∽△ABC，
∴$\frac{{D}_{1}{E}_{1}}{BC}$=$\frac{A{D}_{1}}{AB}$，即$\frac{{D}_{1}{E}_{1}}{a}$=$\frac{\frac{1}{3}}{1}$，
∴D₁E₁=$\frac{1}{3}$=$\frac{{3}^{1}-{2}^{1}}{{3}^{1}}$a；
故答案为：$\frac{1}{3}$a；

（2）∵AD₁=$\frac{1}{3}$AB，AE₁=$\frac{1}{3}$AC，D₁D₂=$\frac{1}{3}$D₁B，E₁E₂=$\frac{1}{3}$E₁C，∠A=∠A，
∴△AD₂E₂∽△ABC，
∵D₁D₂=$\frac{1}{3}$D₁B，
∴AD₂=AD₁+D₁D₂=$\frac{1}{3}$AB+$\frac{1}{3}$（AB-$\frac{1}{3}$AB）=$\frac{5}{9}$AB，
∴$\frac{A{D}_{2}}{AB}$=$\frac{{D}_{2}{E}_{2}}{BC}$，即$\frac{\frac{5}{9}AB}{AB}$=$\frac{{D}_{2}{E}_{2}}{a}$，解得D₂E₂=$\frac{5}{9}$a=$\frac{{3}^{2}-{2}^{2}}{{3}^{2}}$a，
故答案为：$\frac{5}{9}$a；

（3）∵同（1）可得△AD₃E₃∽△ABC，
∴D₃E₃=$\frac{19}{27}$a=$\frac{{3}^{3}-{2}^{3}}{{3}^{3}}$a，
故答案为：$\frac{19}{27}$a；

（4）由（1）（2）（3）可知，D_nE_n=$\frac{{3}^{n}-{2}^{n}}{{3}^{n}}$a，
故答案为：$\frac{{3}^{n}-{2}^{n}}{{3}^{n}}$a．

点评 本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．