Question

17．如图所示，在△ABC中，在△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动，点Q从C点出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动．
（1）如果P、Q同时出发，几秒钟后，可使△PCQ的面积为8cm²？
（2）如果P、Q同时出发，经过几秒钟后，可使△PCQ与△ABC相似？

Answer 1

分析 （1）先用含t的式子表示出PC、QC的长，然后依据三角形的面积公式列方程求解即可；
（2）依据相似三角形对应边成比例列方程求解即可．

解答 解：（1）设t秒后△PCQ的面积为8cm²，则PC=6-t，QC=2t．
根据题意得：$\frac{1}{2}$×2t×（6-t）=8，解得：t=2或t=4．
所以P、Q同时出发，2秒或4秒钟后，可使△PCQ的面积为8cm²．
（2）t秒后PC=6-t，QC=2t．
当△△PCQ∽△ACB时，$\frac{PC}{AC}=\frac{QC}{BC}$，即$\frac{6-t}{6}=\frac{2t}{8}$，解得：t=2.4．
当△PCQ∽△BCA时，$\frac{PC}{BC}=\frac{QC}{AC}$，即$\frac{6-t}{8}=\frac{2t}{6}$，解得：t=$\frac{18}{11}$．
所以当t=2.4或t=$\frac{18}{11}$时，两三角形相似．

点评 本题主要考查的是相似三角形的性质，三角形的面积公式，依据题意列出方程是解题的关键．