Question

如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BAD=90°，以AD为直径的半圆D与BC相切。
（1）求证：OB⊥OC；
（2）若AD=12，∠BCD=60°，⊙O₁与半⊙O外切，并与BC、CD相切，求⊙O₁的面积。

Answer 1

解：（1）∵AB，BC，CD均与半圆O相切，
∴∠ABO=∠CBO，∠DCD=∠BCO，
又AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
即∠ABO+∠CBO+∠BCO+∠DCO=180°，
∴2∠CBO+2∠BCO=180°，
于是∠CBO+∠BCO=90°，
∴∠BOC=180°-（∠CBO+∠BCO）=180°-90°=90°，
即OB⊥OC；
（2）设CD切⊙O₁于点M，连接O₁M，则O₁M⊥CD，
设⊙O₁的半径为r，
∵∠BCD=60°，
且由（1）知 ∠BCO=∠O₁CM，
∴∠O₁CM=30°，
在Rt△O₁CM中，CO₁=2O₁M=2r，
在Rt△OCD中，OC=2OD=AD=12，
∵⊙O₁与半圆D外切，
∴OO₁=6+r，
于是，由OO₁+O₁C=OC，有6+r+2r=12，
解得r=2，因此⊙O₁的面积为4π。