Question

【题目】∠MON=90°，点A，B分别在OM、ON上运动（不与点O重合）．

（1）如图①，AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的平分线，随着点A、点B的运动，∠AEB=　　°

（2）如图②，若BC是∠ABN的平分线，BC的反向延长线与∠OAB的平分线交于点D

①若∠BAO=60°，则∠D=　　　　°．

②随着点A，B的运动，∠D的大小会变吗？如果不会，求∠D的度数；如果会，请说明理由．

（3）如图③，延长MO至Q，延长BA至G，已知∠BAO，∠OAG的平分线与∠BOQ的平分线及其延长线相交于点E、F，在△中，如果有一个角是另一个角的3倍，求∠ABO的度数．

Answer 1

【答案】（1）135°；（2）①45°，②不发生变化，45°；（3）60°或45°

【解析】

（1）利用三角形内角和定理、两角互余、角平分线性质即可求解；

（2）①利用对顶角相等、两角互余、两角互补、角平分线性质即可求解；

②证明和推理过程同①的求解过程；

（3）由（2）的证明求解思路，不难得出=90°，如果有一个角是另一个角的3倍，所以不确定是哪个角是哪个角的三倍，所以需要分情况讨论；值得注意的是，∠MON=90°，所以求解出的∠ABO一定要小于90°，注意解得取舍.

（1）

（2）①如图所示

AD与BO交于点E，

②∠D的度数不随A、B的移动而发生变化

设，因为AD平分∠BAO，所以，因为∠AOB=90°，所以。因为BC平分，所以。又因为。所以

（3）因为∠BAO与∠BOQ的平分线交于点E，

所以，

所以

因为AE、AF分别是∠BAO和∠OAG的平分线，

所以在△AEF中，若有一个角是另一个角的3倍，

则①当时，得，此时

②当时，得，此时，舍去。

③当时，得，此时

④当时，得，此时，舍去。

综上可知，∠ABO的度数为60°或45°。